forum.zadania.info

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których układ równań \(x-y\log_2{m}=1\) oraz \(x\log_ 2{m}-y=0\) jest oznaczony i spełnia go para liczb \((x,y)\) taka, że \(x<y\).

Januszgolenia pisze: ↑09 sie 2020, 13:43 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których układ równań \(x-ylog_2{m}=1\) oraz \(xlog_ 2{m}-y=0\) jest oznaczony i spełnia go para liczb (x,y) taka, że x<y.

Oznaczmy dla uproszczenia zapisu \(a=\log_2m, \,\,\text{ gdzie }\,\, m>0\). Wtedy układ równań przyjmie postać
\[ \begin{cases} x-ay=1\\ax-y=0\end{cases} \iff x= \frac{1}{1-a^2},\quad y=\frac{a}{1-a^2} \]
Łatwo widać, że układ będzie oznaczony, gdy \(|a|\neq1\), wtedy
\(x<y\iff \frac{1}{1-a^2} - \frac{a}{1-a^2} <0 \iff (1-a)^2(1+a)<0 \wedge |a|\neq1 \So a<-1\).
Ponieważ \(a=\log_2m \So \log_2m<-1 \iff m< \frac{1}{2} \). Uwzględniając warunek m>0, mamy

Odpowiedź: Układ równań \( \begin{cases}x-y\log_2{m}=1 \\ x\log_ 2{m}-y=0 \end{cases} \) jest oznaczony i spełnia go
para liczb (x,y) taka, że \( x<y \), gdy \(0<m< \frac{1}{2}\)