forum.zadania.info

Witam,
bardzo proszę o pomoc przy poniższych zadaniach.

zad 1
Wyznacz dziedzinę funkcji rzeczywistej \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x^2 - 3x + 1}} \)

zad 2
Wyznacz wszystkie możliwe asymptoty funkcji \( f(x) = \frac{3x^3 - x^2 + x + 5}{3x^2 + 7x + 2} \)

zad 3
Oblicz granicę ciągu \( \frac({n}{n+2})^{4n-2} \)

zad 4
Rozwiń w wielomian Taylora trzeciego stopnia wokół punktu x = 0, funkcję \( f(x) = x/cosx \)

zad 5
Wyznacz przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji: \( f(x) = \frac{x^2 + 4x - 16}{x - 3} \)

Mała poprawka co do zapisu:

w zadaniu 3
granica to \( \frac{n}{n+1}^{4n-2} \)


w zadaniu 4
funkcja f(x) = xcosx

Doleon pisze: ↑28 lip 2020, 19:06 zad 3
Oblicz granicę ciągu \( \left( \frac{n}{n+1} \right)^{4n-2} \)

Jest to granica typu \(1^\infty\), więc trzeba będzie skorzystać z faktu, że \(\displaystyle \Lim_{a_n\to \pm\infty} \left(1+ \frac{1}{a_n} \right)^{a_n} =e \)

\( \left(\frac{n}{n+1} \right)^{4n-2}= \left( \frac{n+1-1}{n+1} \right)^{4n-2}= \left(1- \frac{1}{n+1} \right)^{4n-2}= \left(1+ \frac{-1}{n+1} \right)^{4n-2} = \left( 1+ \frac{1}{-n-1} \right)^{4n-2} = \left( 1+ \frac{1}{-n-1}\right)^{-4(-n-1)-6} \\
\left( 1+ \frac{1}{-n-1}\right)^{-4(-n-1)-6}= \left[ \left( 1+ \frac{1}{-n-1} \right)^{-n-1} \right]^{-4}\cdot \left( 1+ \frac{1}{-n-1} \right)^{-6} \)

\( \displaystyle \Lim_{n \to \infty } \left(1+ \frac{1}{-n-1} \right)^{-n-1} =e, \quad \Lim_{n\to \infty } \left( 1+ \frac{1}{-n-1} \right)=1\). Zatem

Odpowiedź: \( \Lim_{n\to\infty } \left( \frac{n}{n+1} \right)^{4n-2} = \Lim_{n\to \infty } \left[ \left( 1+ \frac{1}{-n-1} \right)^{-n-1} \right]^{-4}\cdot \Lim_{n\to\infty } \left( 1+ \frac{1}{-n-1} \right)^{-6} =e^{-4}\cdot 1^{-6}=e^{-4} \)

Doleon pisze: ↑28 lip 2020, 19:06 zad 4
Rozwiń w wielomian Taylora trzeciego stopnia wokół punktu x = 0, funkcję \( f(x) = x\cos x \)

Skorzystamy z rozwinięcia funkcji \(\displaystyle \cos x: \quad \cos x= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} \). Wobec tego
\(\displaystyle f(x)=x\cos x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n+1}=x- \frac{x^3}{2!} + \frac{x^5}{4!}- \frac{x^7}{6!}+ \ldots\)
Ponieważ w zadaniu chodzi o wielomian stopnia trzeciego, więc

Odpowiedź: \(f(x)=x\cos x \approx x- \frac{1}{2} x^3 \)

Dziękuję bardzo za odpowiedź, mógłbym jeszcze prosić o pomoc w zadaniu 1 ? Pozostałe udało mi się zrobić samodzielnie

Doleon pisze: ↑28 lip 2020, 19:06 Witam,
bardzo proszę o pomoc przy poniższych zadaniach.

zad 1
Wyznacz dziedzinę funkcji rzeczywistej \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x^2 - 3x + 1}} \)

Wyjaśnienie: jest pierwiastek i mianownik, więc to co pod pierwiastkiem musi być większe od zera. Równe być nie może, bo jest w mianowniku. \(\displaystyle D_f=\{x\in\rr: 2x^2-3x+1>0\}\).
Całe zadanie sprowadza się do rozwiązania nierówności \(2x^2-3x+1>0 \iff x< \frac{1}{2} \vee x>1 \)

Odpowiedź: \(D_f= \left(-\infty, \frac{1}{2} \right) \cup \left(1,+\infty \right) \)

Niezmiernie dziękuję za pomoc przy tych zadaniach. Życzę wszystkiego dobrego panb !