forum.zadania.info

Pewnie miało być
\(\log_{2}(x-1)\color{red}{-} \log_{2}(x+1)+\log_{ \frac{x+1}{x-1} }2>0\)
gdyż moim zdaniem, w pierwotnej postaci rozwiązanie można znaleźć tylko metodami aproksymującymi lub numerycznymi.

A gdyby

kerajs pisze: ↑06 lip 2020, 12:07 Pewnie miało być \(\log_{2}(x-1)\color{red}{-} \log_{2}(x+1)+\log_{ \frac{x+1}{x-1} }2>0\)

to nierówność jest równoważna w \(D=(1;+\infty)\)
\(t-{1\over t}>0\)
gdzie \(t=\log_2{x-1\over x+1}\wedge t<0\)

Pozdrawiam

Rzeczywiście ma być - a nie +

Januszgolenia pisze: ↑06 lip 2020, 05:48 \(log_{2}(x-1)-log_{2}(x+1)+log_{ \frac{x+1}{x-1} }2>0\)

\(x-1>0\;\;\wedge\;\;x+1>0\;\;\wedge\;\;\frac{x+1}{x-1}>0\;\;\wedge\;\;\frac{x+1}{x-1}\neq 1\\
D=(1,\infty)
\)

\(\log_2(x-1)-\log_2(x+1)+\frac{1}{\log_2\frac{x+1}{x-1}}>0\\
-(\log_2(x+1)-\log_2(x-1))+\frac{1}{\log_2\frac{x+1}{x-1}}>0\\
-\log_2\frac{x+1}{x-1}+\frac{1}{\log_2\frac{x+1}{x-1}}>0\\
\log_2\frac{x+1}{x-1}=t\\
t-\frac{1}{t}<0\\
t^3-t<0\\
t(t^2-1)<0\\
t(t-1)(t+1)<0\\
t\in (-\infty,-1)\cup (0,1)\\
\log_2\frac{x+1}{x-1}<-1\;\;\vee\;\;0<\log_2\frac{x+1}{x-1}<1\\
\log_2\frac{x+1}{x-1}<\log_20,5\;\;\vee\;\;\log_21<\log_2\frac{x+1}{x-1}>\log_22\\
\frac{x+1}{x-1}<0,5\;\;\vee\;\;1<\frac{x+1}{x-1}<2\\
(x\in (-3,1)\;\;\vee\;\;\;x\in (3,\infty))\wedge\;x\in D\\
x\in (3,\infty)

\)

Skoro dziedziną jest \(x>1\) to wiadomo, iż \(t=\log_2 \frac{x+1}{x-1} \) jest liczbą dodatnią, co znacznie skraca powyższe obliczenia.