ciąg arytmetyczny
: 02 lip 2020, 09:00
Ze zbioru liczb 1,2,3,...,100 usuwamy losowo 10 liczb. Wykaż że spośród pozostałych 90 liczb możemy zawsze wybrać 10 liczb które są liczbami ciągu arytmetycznego.
Niech \(x_1<x_2<\cdots<x_{10}\) będą usuniętymi liczbami, ponadto \(x_0=0\). Wtedy:
1. Jeśli istnieje \(i\in \{1,2, ...,10\}\) takie, że \(x_1-x_{i-1}>10\), to szukanym ciągiem będzie \((a_n)\), gdzie \(a_1=x_{i-1}+1\wedge r=1\)
2. Jeśli dla każdego \(i\in \{1,2, ...,10\}\) mamy \(x_1-x_{i-1}\le10\), to zbudujmy ciąg \((y_n)\) taki, że \(y_n\equiv x_n\mod10\wedge y_n<10\)
\(\quad\) a. Jeśli \((y_n)\) nie jest różnowartościowy, to istnieje takie \(k\in\{0,1,2, ..., 9\}\), że \(a_1\equiv k\mod10\wedge a_1\le10\wedge r=10\)
\(\quad\) b. W przeciwnym przypadku \((x_n)=(9,18,27,36,45,54,63,72,81,90)\). Wtedy, np. \((a_n)=(8,17,26,35,44,53,62,71,80,89)\)
Pozdrawiam