forum.zadania.info

znaleźć jawny wzór dla funkcji\( f:N \to N\), określonej indukcyjnie:
f(0)=1
f(0)=4
\(f(n)=6*f(n-1)+4*f(n-2\)), dla n>1

Dwa razy f(0) podajesz. Popraw!

bo tak mam w poleceniu

LudwikM pisze: ↑26 cze 2020, 11:11 znaleźć jawny wzór dla funkcji\( f:N \to N\), określonej indukcyjnie:
f(0)=1
f(1)=4
\(f(n)=6*f(n-1)+4*f(n-2\)), dla n>1

Niech \(f(n)=q^n \). Wtedy równanie rekurencyjne wygląda tak:
\(q^n=6q^{n-1}+4q^{n-2}/:q^{n-2} \So q^2=6q+4 \iff q_1=3-\sqrt{13}, \,\, q_2=3+\sqrt{13}\)

Szukany ciąg ma wzór ogólny postaci \(f(n)=A(3-\sqrt{13})^n+B(3+\sqrt{13})^n\)

Żeby znaleźć A i B trzeba wykorzystać \( \begin{cases} f(0)=A+B=1\\ f(1)=A(3-\sqrt{13})+B(3+\sqrt{13})=4\end{cases}\)

Ten układ rozwiąż samodzielnie, ok?

Odpowiedź: \(f(n)= \frac{13-\sqrt{13}}{26}(3-\sqrt{13})^n+ \frac{13+\sqrt{13}}{26}(3+\sqrt{13})^n\)

ok dziękuję za pomoc