forum.zadania.info

Przez krawędź płaszczyzn: x + 5y + z = 0 i x − z + 4 = 0 poprowadzić
płaszczyznę nachyloną do płaszczyzny x − 4y − 8z + 12 = 0 pod kątem \( \frac{ \pi }{4} \)

zahhakpro pisze: ↑21 cze 2020, 07:04 Przez krawędź płaszczyzn: x + 5y + z = 0 i x − z + 4 = 0 poprowadzić
płaszczyznę nachyloną do płaszczyzny x − 4y − 8z + 12 = 0 pod kątem \( \frac{ \pi }{4} \)

Pewnie zdajesz sobie sprawę, że rozwiązywanie takich zadań to jest trochę pisania. Nie wiem czemu ani raz nie podziękowałeś za rozwiązanie. mam nadzieję, że nie uważasz, że to ci się należy. . Nie dziw się, że chętni do rozwiązywania i wyjaśniania nie walą drzwiami i oknami.
To tyle kazania na te niedzielę. Teraz szkic rozwiązania

1. Niech szukana płaszczyzna ma równanie \(Ax+By+Cz+D=0\)
2. Żeby znaleźć krawędź wspólną należy rozwiązać układ równań \( \begin{cases} x + 5y + z = 0\\ x − z + 4 = 0\end{cases} \)
   Oczywiście jest to układ nieoznaczony, jedna ze zmiennych będzie parametrem. Rozwiązaniem jest równanie prostej będącej wspólną krawędzią tych płaszczyzn. \( \begin{cases}x=-4+t\\y= \frac{4}{5}- \frac{2}{5}t\\z=t \end{cases} \) lub ładniej trochę (t:=5t) \( \begin{cases}x=-4+5t\\y=\frac{4}{5}-2t\\z=5t \end{cases} \)
   Oto ilustracja:

   

   ta czarna kreska to właśnie wspólna krawędź

3. Żeby nasza płaszczyzna zawierała tę prostą, to dla każdego t współrzędne punktów z prostej muszą spełniać równanie płaszczyzny, czyli \(A(-4+5t)+B(\frac{4}{5}-2t)+C\cdot 5t +D=0, \text{ dla każdego } t\in\rr\\\) .
   To będzie zachodzić wtedy, gdy \( \begin{cases}-4A+\frac{4}{5}B+D=0\\ 5A-2B+5C=0 \end{cases} \So \begin{cases}A\in\rr\\B=2,5(A+C)\\C\in\rr\\D=2(A-C) \end{cases} \)
4. Równanie naszej płaszczyzny można więc zapisać tak:
   \(Ax+2,5(A+C)y+Cz+2(A-C)=0\)

Dalsza część rozwiązania polega na znalezieniu A i C tak, aby kąt między naszą płaszczyzną, a płaszczyzną
x − 4y − 8z + 12 = 0 miał miarę \( \frac{ \pi }{4} \). Takie zadanie masz już rozwiązane - więc spróbuj dokończyć samodzielnie. Przy okazji przekonasz się, że wszyscy rozwiązujący twoje zadania zasługują na kliknięcie kciuka w górę, czyli na PODZIĘKOWANIE.

Przepraszam za to kazanie i dzięki za docenienie wysiłku.