Znajdź równania płaszczyzn

[zahhakpro]

Zadanie 1.
Przez początek układu współrzędnych poprowadzić płaszczyznę prostopadłą do płaszczyzny 5x−2y+5z−10 = 0 i tworzącą kąt \( \frac{ \pi }{4} \)
z płaszczyzną x−4y−8z+12 = 0.

Zadanie 2.
Znaleźć równania płaszczyzn dwusiecznych kątów między dwiema płaszczyznami 7x + y − 6 = 0 i 3x + 5y − 4z + 1 = 0

[panb]

Zadanie 2.
Znaleźć równania płaszczyzn dwusiecznych kątów między dwiema płaszczyznami 7x + y − 6 = 0 i 3x + 5y − 4z + 1 = 0

\(7x+y-6+1(3x+5y-4z+1)=0 \iff 10x+6y-4z-5=0\\
7x+y-6-1(3x+5y-4z+1)=0 \iff 4x-4y+4z-7=0\)

[panb]

Zadanie 1.
Przez początek układu współrzędnych poprowadzić płaszczyznę prostopadłą do płaszczyzny 5x−2y+5z−10 = 0 i tworzącą kąt \( \frac{ \pi }{4} \)
z płaszczyzną x−4y−8z+12 = 0.

\(Ax+By+Cz+D=0\) - równanie szukanej płaszczyzny

1. przechodzi przez punkt \((0,0,0) \So D=0 \So Ax+By+Cz=0\)
2. Jest prostopadła do płaszczyzny \(5x-2y+5z-10=0 \\ 5A-2B+5C=0 \iff B=2,5(A+C) \So Ax+2,5(A+C)y+C=0\)
3. Tworzy kąt \( 45^\circ \text{ z płaszczyzną } x-4y-8z+12=0\)
   \(\cos45^\circ= \frac{1}{\sqrt2}= \frac{|A\cdot1-4\cdot2,5(A+C)-8\cdot C|}{\sqrt{1+16+64}\cdot \sqrt{A^2+6,25(A+C)^2+C^2}} \\
   \frac{1}{\sqrt2} = \frac{9|A+2C|}{9\cdot \sqrt{7,25A^2+7,25C^2+12,5AC}} \iff \frac{1}{\sqrt2} = \frac{|A+2C|}{\sqrt{7,25A^2+7,25C^2+12,5AC}} \So 2(A+2C)^2=7,25A^2+7,25C^2+12,5AC\\
   7A^2+6AC-C^2=0 /:AC ,\,\,(AC\neq0) \So 7 \frac{A}{C} - \frac{C}{A}+6=0,\,\, \frac{A}{C}=t,\,\, 7t- \frac{1}{t}+6=0\\
   7t^2+6t-1=0 \So t_1=-1,\,\,\, t_2= \frac{1}{7} \\
   t=-1\So C=-A,\,\, B=2,5(A+C)=0 \So Ax-Az=0 \iff x-z=0 \\
   t= \frac{1}{7} \So C=7A, \,\,\, B=2,5(A+C)=20A \So Ax+20Ay+7Az=0 \iff x+20y+7z=0\)

Jeżeli A=0, lub B=0, to otrzymujemy A=B=C=0 i płaszczyzny nie ma.

Odpowiedź: Istnieją dwie płaszczyzny prostopadłe do płaszczyzny \( 5x−2y+5z−10 = 0\) i tworzące kąt \(\frac{ \pi }{4} \)
z płaszczyzną \(x−4y−8z+12 = 0\). Mają one równania \(x-z=0\) oraz \(x+20y+7z=0\).

[zahhakpro]

Zadanie 2.
Znaleźć równania płaszczyzn dwusiecznych kątów między dwiema płaszczyznami 7x + y − 6 = 0 i 3x + 5y − 4z + 1 = 0

\(7x+y-6+1(3x+5y-4z+1)=0 \iff 10x+6y-4z-5=0\\
7x+y-6-1(3x+5y-4z+1)=0 \iff 4x-4y+4z-7=0\)

Nie za bardzo rozumiem, proszę o wyjaśnienie do 2 zadania

[panb]

czyli zadanie 1 ok?

[zahhakpro]

czyli zadanie 1 ok?

Tak

[panb]

Zadanie 2.
Znaleźć równania płaszczyzn dwusiecznych kątów między dwiema płaszczyznami 7x + y − 6 = 0 i 3x + 5y − 4z + 1 = 0

\(7x+y-6+1(3x+5y-4z+1)=0 \iff 10x+6y-4z-5=0\\
7x+y-6-1(3x+5y-4z+1)=0 \iff 4x-4y+4z-7=0\)

Nie za bardzo rozumiem, proszę o wyjaśnienie do 2 zadania

\( \frac{|7x+y-6|}{\sqrt{49+1}} = \frac{|3x+5y-4z+1|}{\sqrt{9+25+16}}/\cdot\sqrt{50} \iff \\
\qquad \iff 7x+y-6=3x+5y-4z+1 \vee 7x+y-6=-(3x+5y-4z+1)\)

Może być takie wyjaśnienie?