Witam i bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu poniższych zadań.
Zadanie 1.
Dana jest funkcja kwadratowa f(z) = z2 + az + b zmiennej zespolonej z, gdzie a i b są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Wiedząc, że f(–1 – 2i) = 0, wyznacz a i b.
Zadanie 2.
Oblicz długość odcinka, którego końcom odpowiadają liczby zespolone z1 i z2,
jeśli z1= 4 + 2i oraz z2 = sprzężenie z1 .
Zadanie 3.
W zbiorze liczb zespolonych rozwiąż równanie (i -3)z = 5+i + z.
Wynik podaj w postaci , gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi.
Liczby zespolone
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
1.
\(f(-1-2i)=(-1-2i)^2+a(-1-2i)+b=1+4i+4i^2-a-2ai+b=(4-2a)i-a+b+1-4=(4-2a)i+(-a+b-3)\\(4-2a)i+(-a+b-3)=0 \Leftrightarrow \begin{cases}4-2a=0\\-a+b-3=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}a=2\\-2+b-3=0 \end{cases} \\ \begin{cases}a=2\\b=5 \end{cases}\)
2.
\(z_1=4+2i\\z_2=4-2i\\A=(4,\ 2),\ B=(4,\ -2)\\|AB|=\sqrt{(4-4)^2+(-2-2)^2}=\sqrt{4^2}=4\)
3.
\(z(i-3)=5+i+z\\z(i-4)=5+i\\z=\frac{5+i}{i-4}\cdot\frac{i+4}{i+4}\\z=\frac{20+5i+4i+i^2}{i^2-16}=\frac{20+9i-1}{-1-16}=\frac{19+9i}{-17}\\z=-\frac{19}{17}-\frac{9}{17}i\)
\(f(-1-2i)=(-1-2i)^2+a(-1-2i)+b=1+4i+4i^2-a-2ai+b=(4-2a)i-a+b+1-4=(4-2a)i+(-a+b-3)\\(4-2a)i+(-a+b-3)=0 \Leftrightarrow \begin{cases}4-2a=0\\-a+b-3=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}a=2\\-2+b-3=0 \end{cases} \\ \begin{cases}a=2\\b=5 \end{cases}\)
2.
\(z_1=4+2i\\z_2=4-2i\\A=(4,\ 2),\ B=(4,\ -2)\\|AB|=\sqrt{(4-4)^2+(-2-2)^2}=\sqrt{4^2}=4\)
3.
\(z(i-3)=5+i+z\\z(i-4)=5+i\\z=\frac{5+i}{i-4}\cdot\frac{i+4}{i+4}\\z=\frac{20+5i+4i+i^2}{i^2-16}=\frac{20+9i-1}{-1-16}=\frac{19+9i}{-17}\\z=-\frac{19}{17}-\frac{9}{17}i\)