forum.zadania.info

\((2sinx-3)(2sinx+1)>0\)
Wiem, że rozwiązanie tej nierówności jest dostępne w internecie, ale chcę to robić w pewnien inny sposób i mam parę wątpliwości
rozbiłam nierówność na 2 przypadki:
1)
\(2sinx-3>0
\wedge
2sinx +1>0\)
no i tutaj mam pytanie, skoro w \(sin> \frac{3}{2} \) mamy sprzeczność, to w ogóle nie rozpatrywujemy tego przpadku, tak?

2)
\(2sinx -3<0
\wedge
2sinx+1<0 \)
\(sinx< \frac{3}{2} \) - a tutaj jest sprzeczność czy jej nie ma? Sinus przyjmuje wartości zawsze <-1,1> zatem x należy do R?

hyprj pisze: ↑13 cze 2020, 19:37 1)
\(2sinx-3>0
\wedge
2sinx +1>0\)
no i tutaj mam pytanie, skoro w \(sin> \frac{3}{2} \) mamy sprzeczność, to w ogóle nie rozpatrywujemy tego przpadku, tak?

Tak!

hyprj pisze: ↑13 cze 2020, 19:37 2)
\(2sinx -3<0
\wedge
2sinx+1<0 \)
\(sinx< \frac{3}{2} \) - a tutaj jest sprzeczność czy jej nie ma? Sinus przyjmuje wartości zawsze <-1,1> zatem x należy do R?

Sprzeczności nie ma, jest tożsamościowość! Powinnaś zatem rozwiązać nierówność \(\sin x< -\frac{1}{2} \) i jej rozwiązanie będzie ostateczną odpowiedzią.

Pozdrawiam

A co w takiej sytuacji?
\(sin2x \ge 2sinx\)

1)\(sinx \ge 0 \wedge cosx-1 \le 0\)
cosx zawsze\( \le 1\)
więc rozwiązujemy tylko \(sinx \ge 0\)

2) \(sinx \le 0 \wedge cosx \ge 1\)
ale tutaj już cosx=1 i nie wiem jak to połączyć

hyprj pisze: ↑14 cze 2020, 12:32 A co w takiej sytuacji?
\(sin2x \ge 2sinx\)

1)\(sinx \ge 0 \wedge cosx-1 \le 0\)
cosx zawsze\( \le 1\)
więc rozwiązujemy tylko \(sinx \ge 0\)

tak

hyprj pisze: ↑14 cze 2020, 12:32 2) \(sinx \le 0 \wedge cosx \ge 1\)
ale tutaj już cosx=1 i nie wiem jak to połączyć

\(\sin x\leq 0\;\;\wedge\;\;\cos x=1\\
x\in [\pi+2k\pi,2\pi+2k\pi]\;\;\wedge\;\;x=2k\pi\\
x=2k\pi\)

Czasem łatwiej takie nierówności rozwiązywać trochę inaczej np.

\((2\sin x - 3)(2\sin x +1)>0\)

Łatwo zauwważyć w tym przypadku że

\(\forall _{x\in \rr} (2\sin x - 3 < 0)\)[ciach] bo \(2\sin x \le 2\)

Zatem skoro pierwszy czynnik jest ujemny aby nierówność zachodziła drugi musi być także ujemny stąd:

\(2\sin x +1 <0 \Leftrightarrow \sin x < - \frac{1}{2} \)

Tą drugą nierówność można zrobić analogicznie tylko tożsamością jest \(\cos x -1 \le 0\) oczywiście zero wyłączamy i dalej idziemy tak samo