forum.zadania.info

Dany jest trójkąt ABC oraz G−punkt przecięcia środkowych. Niech okrąg przechodzący przez A,B,G przecina BC w D≠B. Wiedząc że AG jest dwusieczną kąta DAC oraz \(AD=8, BD=2\), oblicz AC.

Niech
\(|BC|=2x>4,\ |AC|=y,\ |AG|=2z,\ |\angle ACB|=\gamma,\ M - \text{środek } \overline{BC}\)
Wtedy
\(1^\circ\) Z \(\Delta ADC\) i tw. o podziale boku trójkąta dwusieczną kąta wewnętrznego: \({8\over x-2}={y\over x}\)
\(2^\circ\) Z tw. o potędze punktu \(M\) wglądem okręgu: \(z\cdot 3z=(x-2)\cdot x\)
\(3^\circ\) Z \(\Delta ADC\) i tw. Carnota: \(8^2=y^2+(2x-2)^2-2y(2x-2)\cos\gamma\)
\(4^\circ\) Z \(\Delta AMC\) i tw. Carnota: \((3z)^2=y^2+x^2-2yx\cos\gamma\)
Pozostaje rozwiązać układ z tych równań...

Uwaga

sprowadziłem go do równania zmiennej \(x\), wolfram podpowiedział rozwiązania: \(-6,\ 0,\ 1\), czyli... coś nie tak! Może \(D\) należy do prostej \(BC\) a nie odcinka \(\overline{BC}\) i \(\angle ABC\) rozwarty, ale mi się już nie chce liczyć...Tok rozumowania analogiczny!

Pozdrawiam

Na pewno sprawdziłeś? AC=12 ??

Sprawdzałem!
Istnieje ryzyko błędu w rachunkach czy bad-click w wolframie... Ale skoro doliczyłeś \(AC=12\), to mój \(x=6\), czyli jakiś błąd znaku? Przepraszam, nie chce mi się liczyć od nowa, a notatki poszły ... do kosza.

Pozdrawiam

Jerry pisze: ↑14 cze 2020, 15:42 Niech
\(|BC|=2x>4,\ |AC|=y,\ |AG|=2z,\ |\angle ACB|=\gamma,\ M - \text{środek } \overline{BC}\)
Wtedy
\(1^\circ\) Z \(\Delta ADC\) i tw. o podziale boku trójkąta dwusieczną kąta wewnętrznego: \({8\over x-2}={y\over x}\)
\(2^\circ\) Z tw. o potędze punktu \(M\) wglądem okręgu: \(z\cdot 3z=(x-2)\cdot x\)
\(3^\circ\) Z \(\Delta ADC\) i tw. Carnota: \(8^2=y^2+(2x-2)^2-2y(2x-2)\cos\gamma\)
\(4^\circ\) Z \(\Delta AMC\) i tw. Carnota: \((3z)^2=y^2+x^2-2yx\cos\gamma\)
Pozostaje rozwiązać układ z tych równań...

Uwaga

sprowadziłem go do równania zmiennej \(x\), wolfram podpowiedział rozwiązania: \(-6,\ 0,\ 1\), czyli... coś nie tak! Może \(D\) należy do prostej \(BC\) a nie odcinka \(\overline{BC}\) i \(\angle ABC\) rozwarty, ale mi się już nie chce liczyć...Tok rozumowania analogiczny!

Pozdrawiam

to rozwiązało mój problem