forum.zadania.info

\( \int_{}^{} \int_{D}^{} (x^2y^3+x)dxdy ~~\)gdzie \(D\) jest ograniczone warunkiem \(x^2+y^2 \le 1 ; x+y \ge 1\)

alanowakk pisze: ↑11 cze 2020, 21:37 \( \int_{}^{} \int_{D}^{} (x^2y^3+x)dxdy ~~\)gdzie \(D\) jest ograniczone warunkiem \(x^2+y^2 \le 1 ; x+y \ge 1\)

\(\displaystyle D=\{ (x,y): 0\le x \le 1,\,\,\, 1-x\le y \le \sqrt{1-x^2}\}\)
To tyle jeśli chodzi o obszar. Zamiana na biegunowe nie poprawia sytuacji.

Ok czyli dobrze myślałam, ale nie umiem sobie poradzić z policzeniem tej całki, wychodzą straszne rzeczy

Liczy się to całkiem dobrze, wychodzą funkcje potęgowe tylko jedna całka z pierwiastkiem, powinno Ci wyjść 0,2854.

panb pisze: ↑11 cze 2020, 22:15

alanowakk pisze: ↑11 cze 2020, 21:37 \( \int_{}^{} \int_{D}^{} (x^2y^3+x)dxdy ~~\)gdzie \(D\) jest ograniczone warunkiem \(x^2+y^2 \le 1 ; x+y \ge 1\)

rys.png
\(\displaystyle D=\{ (x,y): 0\le x \le 1,\,\,\, 1-x\le y \le \sqrt{1-x^2}\}\)
To tyle jeśli chodzi o obszar. Zamiana na biegunowe nie poprawia sytuacji.

\(\displaystyle \iint_D(x^2y^3+x){dx}{dy}= \int_{0}^{1} \left( \int_{1-x}^{\sqrt{1-x^2}} (x^2y^3+x){dy}\right) {dx} =\\ \qquad = \int_{0}^{1} x^2\left( \int_{1-x}^{\sqrt{1-x^2}} y^3{dy}\right){dx}+ \int_{0}^{1}x \left(\int_{1-x}^{\sqrt{1-x^2}}{dy} \right) {dx}\)
To wygląda nieprzyjemnie, ale w takich razach należy rozłożyć nieprzyjemność dużą na kilka mniejszych.

• Policzmy tę łatwiejszą najpierw:
  \(\displaystyle {\int_{0}^{1}x \left(\int_{1-x}^{\sqrt{1-x^2}}{dy} \right) {dx}= \int_{0}^{1}x\sqrt{1-x^2}dx - \int_{0}^{1}x(1-x)dx }\)
  Druga całka jest prosta - zostawię do samodzielnego policzenia: \(\int_{0}^{1}x(1-x)dx = \frac{1}{6} \)
  Pierwsza całka też nie powala. Łatwo przez podstawienie ją załatwić:
  \(\displaystyle \int_{0}^{1}x\sqrt{1-x^2}dx=- \frac{1}{2}\int_{0}^{1}-2x\sqrt{1-x^2}dx= \begin{vmatrix} 1-x^2=t\\-2xdx=dt \\ x=0 \So t=1\\x=1 \So t=0\end{vmatrix} =\\ \qquad = - \frac{1}{2} \int_{1}^{0} \sqrt t{dt} =- \frac{1}{3}t^{ \frac{3}{2} }|_1^0 = \frac{1}{3} \)
  
  Wniosek
  \[ \int_{0}^{1}x \left(\int_{1-x}^{\sqrt{1-x^2}}{dy} \right) {dx}= \frac{1}{3} - \frac{1}{6}= \frac{1}{6} \]
• Teraz ta pierwsza:
  \(\displaystyle \int_{1-x}^{\sqrt{1-x^2}} y^3{dy}= \frac{1}{4}(1-x^2)^2 - \frac{1}{4}(1-x)^4\)
  \(\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{4}x^2(1-x^2)^2 {dx}- \int_{0}^{1} \frac{1}{4}x^2(1-x)^4 {dx} = \ldots = \frac{2}{105}- \frac{1}{420} = \frac{7}{420} = \frac{1}{60} \) - te całki liczy się prosto. Podnieść do potęgi i ... po wszystkim.
  Czyli
  \[ \int_{0}^{1} x^2\left( \int_{1-x}^{\sqrt{1-x^2}} y^3{dy}\right){dx}=\frac{1}{60}\]

Odpowiedź: \[\displaystyle \iint_D(x^2y^3+x){dx}{dy}= \frac{1}{60} + \frac{1}{6}= \frac{11}{60} \]