forum.zadania.info

Zad 1:Oblicz pole powierzchni jaka ze sfery o równaniu \( x^{2} + y^{2} + z^{2}= 5\)
odcina płaszczyzna \(z = 1\).
Zadanie 2: Obliczyć pole powierzchni będącej częścią paraboloidy \(z = x^{2} + y^{2}\)
odcięta przez płaszczyznę \(z = 1\).

wiem, że trzeba wprowadzić współrzędne biegunowe.
W pierwszym moim zdaniem trzeba obliczyć iloczyn kartezjański z \((0,2\pi) \times (0, 2 )\) ale robię to na czuja i jakby ktoś mi podpowiedział czy to jest dobry trop? bo nie wiem czy v ogranicza to, że jak podstawimy za\( z=1\), to wtedy promień wychodzi \(2\)
i \(X(u,v)=( \sqrt{5}\cos {u}\cos{v}, \sqrt{5}\sin{u}\sin{v},0) \)

1.
\(\int_{-2}^{2} ( \int_{- \sqrt{4-x^{2}} }^{ \sqrt{4-x^{2}}} \sqrt{1+( \frac{x}{ \sqrt{5-x^2+y^2} } )^{2}+( \frac{y}{ \sqrt{5-x^2+y^2} } )^{2}}dy)dx =
\int_{0}^{2\pi} ( \int_{0}^{2} \sqrt{ \frac{5}{5-r^2} } rdr )d \alpha=...\)
2.
\(\int_{-1}^{1} ( \int_{- \sqrt{1-x^{2}} }^{ \sqrt{1-x^{2}}} \sqrt{1+( 2x )^{2}+( 2y )^{2}}dy)dx =
\int_{0}^{2\pi} ( \int_{0}^{1} \sqrt{ 1+4r^2 } rdr )d \alpha=...\)

kerajs pisze: ↑03 cze 2020, 19:13 1.
\(\int_{-2}^{2} ( \int_{- \sqrt{4-x^{2}} }^{ \sqrt{4-x^{2}}} \sqrt{1+( \frac{x}{ \sqrt{5-x^2+y^2} } )^{2}+( \frac{y}{ \sqrt{5-x^2+y^2} } )^{2}}dy)dx =
\int_{0}^{2\pi} ( \int_{0}^{2} \sqrt{ \frac{5}{5-r^2} } rdr )d \alpha=...\)
2.
\(\int_{-1}^{1} ( \int_{- \sqrt{1-x^{2}} }^{ \sqrt{1-x^{2}}} \sqrt{1+( 2x )^{2}+( 2y )^{2}}dy)dx =
\int_{0}^{2\pi} ( \int_{0}^{1} \sqrt{ 1+4r^2 } rdr )d \alpha=...\)

Próbuje to dokończyć i czy jest to dobry wynik?
2) podstawiam
\(t=1+4r^{2} \\
dt=8r \\
dr = \frac{dt}{8}
\)
i wychodzi \( \int_{0}^{2 \pi} \int_{0 }^{2} \sqrt{t} \frac{dt}{8}d \alpha = \frac{1}{8} \int_{0}^{2 \pi}[\frac{t^{\frac{2}{3}}}{\frac{3}{2}}]_{0}^{2}=\frac{5^{\frac{3}{2}}-1}{6}\pi\)

a w 1) \(-2 \sqrt{5} \pi + 10 \pi\)

Oba wyniki OK.