Strona 1 z 1
suma kwadratów pierwiastków
: 03 cze 2020, 17:34
autor: hyprj
Oblicz sumę kwadratów pierwiastków równania:
\({2}^{ \sqrt{x}-1} +{2}^{2- \sqrt{x}}=3 \)
Re: suma kwadratów pierwiastków
: 03 cze 2020, 17:48
autor: eresh
\(x\geq 0\\
2^{\sqrt{x}-1}+2^{-(\sqrt{x}-2)}=3\\
2^{\sqrt{x}-1}+2^{-(\sqrt{x}-1-1)}=3\\
2^{\sqrt{x}-1}+\frac{2}{2^{\sqrt{x}-1}}=3\\
2^{\sqrt{x}-1}=t\\
t+\frac{2}{t}=3\\
t^2+2-3t=0\\
t=2\;\;\vee\;\;t=1\\
2^{\sqrt{x}-1}=2\;\;\vee\;\;2^{\sqrt{x}-1}=1\\
\sqrt{x}-1=1\;\;\vee\;\;\sqrt{x}-1=0\\
\sqrt{x}=2\;\;\vee\;\;\sqrt{x}=1\\
x=4\;\;\;\vee\;\;x=1\\
4^2+1^2=17
\)
Re: suma kwadratów pierwiastków
: 03 cze 2020, 18:33
autor: Sciurius
Mała poprawka
\(x_1 = 4\) i \(x_2 =1\) są pierwiastkami równania więc suma ich kwadratów jest równa:
\(4^2 + 1^2 =17\)
Re: suma kwadratów pierwiastków
: 03 cze 2020, 18:34
autor: eresh
Sciurius pisze: ↑03 cze 2020, 18:33
Mała poprawka
\(x_1 = 4\) i
\(x_2 =1\) są pierwiastkami równania więc suma ich kwadratów jest równa:
\(4^2 + 1^2 =17\)
racja, już poprawiam
dzięki
Re: suma kwadratów pierwiastków
: 03 cze 2020, 18:37
autor: hyprj
eresh pisze: ↑03 cze 2020, 17:48
\(x\geq 0\\
2^{\sqrt{x}-1}=t\\
\)
Dziękuję za pomoc
Mam jeszcze jedno pytanie, w odpowiedziach widzę, że należało założyć, że
\(t \ge 1\) i nie wiem dlaczego.
Re: suma kwadratów pierwiastków
: 03 cze 2020, 18:49
autor: Sciurius
Nie wiem czemu akurat \( \ge 1\) (chyba że t było określone jako \(t=2^{\sqrt{x}}\) wtedy to ma sens)
ogólnie:
\(x \ge 0 \to \sqrt{x} \ge 0 \to to \sqrt{x} -1 \ge -1 \to 2^{\sqrt{x} -1} \ge \frac{1}{2} \) dla \(t=2^{\sqrt{x}}\) analogicznie
Można to dopisać ale jak pamiętasz o założeniu dla x to zauważysz że np. jak \(t= \frac{1}{4} \) to:
\(2^{\sqrt{x} -1}= \frac{1}{4} \)
\(\sqrt{x} -1=-2\)
\(\sqrt{x}=-1\) sprzeczność