forum.zadania.info

Przez punkt \(P(-4,1)\) poprowadzono prostą, która przecina osie układu współrzędnych tak, że pole powstałego trójkąta jest najmniejsze. Oblicz najmniejsze pole trójkąta w w 2 ćwiartce.

Prosta ta ma równanie \(l_m\colon y=m(x+4)+1\) lub \(l_0\colon x=-4\) (nie spełni warunków zadania)
\(l_m\) przecina osie w punktach \(A(0,4m+1),\ B\left({-4m-1\over m},0\right)\) dla \(m\ne0\)
Aby trójkąt był w 2. ćwiartce, \(m\) musi być dodatnie,a \(|OA|=4m+1\) oraz \(|OB|=-{-4m-1\over m}\)
Pole trójkąt \(AOB\), zależne od \(m\) określa forma:
\(S_{\Delta AOB}(m)={1\over2}\cdot(4m+1)\cdot{4m+1\over m}=8m+4+{1\over 2m}\wedge m>0\)
Ponieważ
\(S'_{\Delta AOB}(m)=8-{1\over 2m^2}\wedge m>0\)
zeruje się dla \(m={1\over4}\) i zmienia znak z ujemnego na dodatni, to dla \(m={1\over4}\) pole trójkąta \(AOB\) przyjmuje wartość najmniejszą i równą \(8\), \(A(0,2),\ B(-8,0).\)

Pozdrawiam