forum.zadania.info

Wyznacz wszystkie wartości parametru a, dla których nierówność \({x}^{2}+4\left|x-a\right|- {a}^{2} \ge 0\) jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste.

hyprj pisze: ↑31 maja 2020, 19:52 Wyznacz wszystkie wartości parametru a, dla których nierówność \({x}^{2}+4\left|x-a\right|- {a}^{2} \ge 0\)

no i co dalej...?

\(x^2-a^2+4|x-a|\geq 0\\
(x-a)(x+a)+4|x-a|\geq 0\)

1.
\(x-a\geq 0\;\So x\geq a\\
(x-a)(x+a)+4(x-a)\geq 0\\
(x-a)(x+a+4)\geq 0\;\; \bez :(x-a)>0\\
x+a+4\geq 0\\
x\geq -a-4\;\;\wedge\;\;x\geq a\\\)
nierówność ma być spełniona przez wszystkie \(x\geq a\), czyli
\(-a-4\leq a\\
-2a\leq 4\\
a\geq -2\)


2.
\(x-a< 0\;\So x< a\\
(x-a)(x+a)-4(x-a)\geq 0\\
(x-a)(x+a-4)\geq 0\;\; \bez :(x-a)<0\\
x+a-4\leq 0\\
x\leq -a+4\;\;\wedge\;\;x< a\\
-a+4\geq a\\
-2a\geq -4\\
a\leq 2\)

Odpowiedź: \(a\in [-2,2]\)

[ciach]
Odp. \(a\in[-2;2]\)

Pozdrawiam

[edited] poprawa wiadomości; eresh: Ty uzupełniłaś treść?

eresh pisze: ↑31 maja 2020, 20:18
1.
\(x-a\geq 0\;\So x\geq a\\
(x-a)(x+a)+4(x-a)\geq 0\\
(x-a)(x+a+4)\geq 0\;\; \bez :(x-a)>0\\
x+a+4\geq 0\\
x\geq -a-4\;\;\wedge\;\;x\geq a\\\)
nierówność ma być spełniona przez wszystkie \(x\geq a\), czyli
\(-a-4\leq a\\
-2a\leq 4\\
a\geq -2\)

Hm, jeśli \(x \ge a \) to czy możemy podzielić wyrażenie przez (x-a), skoro ono może być zerem?

Dla bezpieczeństwa warto sprawdzić ,podstawiając za a wartości skrajne.
\(a=-2\\oraz\\a=2\)
Wtedy wszystko się wyjaśni.