forum.zadania.info

Witam ^^. Bardzo bym prosił o pomoc z zadaniem z matematyki dyskretnej. Jeśli można by było rozpisać zadanie to byłbym bardzo wdzięczny.
Treść zadania: Przy użyciu funkcji tworzącej rozwiązać poniższe równanie rekurencyjne:
\(\ a_{n} = 2a_{n-1} + 8a_{n-2} + 5*3^{n} + 9n \), dla \(\ a_{0} = 10, a_{1} = -60 \).
Z góry dziękuję za pomoc ^^

Najpierw rozwiązujemy równanie jednorodne:
\(a_n=2a_{n-1}+8a_{n-2} \iff a_n-2a_{n-1}-8a_{n-2}=0\\
r^2-2r-8=0 \So r=-2 \vee r=4 \)
Rozwiązaniem równania jednorodnego jest \(a^0_n=\alpha \cdot 4^n+\beta \cdot (-2)^n\)

Ponieważ nasze równanie ma postać \(a_n-2a_{n-1}-8a_{n-2}=5 \cdot 3^n+9n\), więc przewidujemy, że rozwiązanie będzie postaci \(a_n=a^0_n+a^{sz}_n\), gdzie \(a^{sz}_n=A3^n+Bn+C\) spełnia następujący warunek:
\(a^{sz}_n-2a^{sz}_{n-1}-8a^{sz}_{n-2}\equiv 5 \cdot 3^n+9n \iff \\ \iff A \cdot 3^n+Bn+C-2[A \cdot 3^{n-1}+B(n-1)+C] -8[A \cdot 3^{n-2}+B(n-2)+C]\equiv 5 \cdot 3^n+9n\\
3^n \left( A- \frac{2}{3}A - \frac{8}{9}A \right)+9Bn+18B-9C \equiv 5 \cdot 3^n+9n \So A=-9,\,\, B=-1, \,\, C=-2\)
Rozwiązanie ma zatem postać:
\[a_n=\alpha \cdot 4^n+\beta \cdot (-2)^n- 9 \cdot 3^n-n-2\]

Wartość współczynników \( \alpha\) i \(\beta\) znajdziesz korzystając z danych: \(a_1=10, \,\, a_2=-60\) (zrób to sam)

Odpowiedź: \(a_n=2 \cdot 4^n+19 \cdot (-2)^n-9 \cdot 3^n-n-2\)