funkcja kwadratowa
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Często tu bywam
- Posty: 245
- Rejestracja: 21 maja 2014, 19:56
- Podziękowania: 71 razy
- Otrzymane podziękowania: 2 razy
- Płeć:
funkcja kwadratowa
Niech \(x_1 , x_2\) będą rozwiązaniami równia \(x^2-2ax -1 = 0\) , gdzie a>0-naturalne. Pokąż że dla każdej liczby naturalnej \( n \in\mathbb{N}\) wyrażenie \(W=\frac{1}{8}(x_1^{2n}-x_2^{2n})(x_1^{4n}-x_2^{4n})\) jest iloczynem kolejnych liczb całkowitych.
-
- Często tu bywam
- Posty: 196
- Rejestracja: 29 paź 2010, 12:44
- Podziękowania: 16 razy
- Otrzymane podziękowania: 49 razy
- Płeć:
Re: funkcja kwadratowa
Nie wydaje mi się, żeby to w ogóle było twierdzenie prawdziwe. Przyjmijmy \(n=1\) (dla niego też powinno działać). Mamy:
\(W= \frac{1}{8} \left( x_1^2 - x_2^2 \right) \left( x_1^4 - x_2^4 \right) \)
Teraz jeżeli chodzi o \(x_1\) i \(x_2\) to możemy je po prostu wyliczyć:
\( \Delta =4a^2+4\)
\(x_1 = a- \sqrt{a^2+1}, x_2 = a+ \sqrt{a^2+1}\)
Wstawiamy do liczby \(W\) otrzymując:
\(W= \frac{1}{8} \left( \left( a^2 -2a\sqrt{a^2+1} +a^2 + 1 \right) - \left(a^2 +2a\sqrt{a^2+1} +a^2 + 1\right) \right)*\\ \quad * \left( \left( a^2 -2a\sqrt{a^2+1} +a^2 + 1 \right)^2 - \left(a^2 +2a\sqrt{a^2+1} +a^2 + 1\right)^2 \right)\)
\(W=\frac{1}{8} \left( -4a\sqrt{a^2+1} \right) \left( \left( 8a^4 + 8a^2 -4a\sqrt{a^2+1} -8a^3\sqrt{a^2+1}+1 \right)+ \\ \quad - \left( 8a^4 + 8a^2 +4a\sqrt{a^2+1} +8a^3\sqrt{a^2+1}+1 \right) \right) \)
\(W=\frac{1}{8} \left( -4a\sqrt{a^2+1} \right)\left( -8a\sqrt{a^2+1} -16a^3\sqrt{a^2+1} \right)\)
\(W=\frac{1}{8} \left( 32a^2 \left( a^2+1\right) + 64a^4 \left( a^2+1 \right) \right) \)
\(W= 4a^2 \left( a^2+1\right) + 8a^4 \left( a^2+1 \right) \)
\(W=4a^4+4a^2+8a^6+8a^4\)
\(W=4a^2 \left( 2a^4 + 3a^2 + 1\right) \)
i jeżeli się nigdzie nie pomyliłem to nie widzę by ostateczny wynik był iloczynem kolejnych liczb całkowitych. Dla \(a=1\) mamy iloczyn \(4 \cdot 6\) zaś dla \(a=2\) otrzymujemy \(16 \cdot 45 = 48 \cdot 15\)
\(W= \frac{1}{8} \left( x_1^2 - x_2^2 \right) \left( x_1^4 - x_2^4 \right) \)
Teraz jeżeli chodzi o \(x_1\) i \(x_2\) to możemy je po prostu wyliczyć:
\( \Delta =4a^2+4\)
\(x_1 = a- \sqrt{a^2+1}, x_2 = a+ \sqrt{a^2+1}\)
Wstawiamy do liczby \(W\) otrzymując:
\(W= \frac{1}{8} \left( \left( a^2 -2a\sqrt{a^2+1} +a^2 + 1 \right) - \left(a^2 +2a\sqrt{a^2+1} +a^2 + 1\right) \right)*\\ \quad * \left( \left( a^2 -2a\sqrt{a^2+1} +a^2 + 1 \right)^2 - \left(a^2 +2a\sqrt{a^2+1} +a^2 + 1\right)^2 \right)\)
\(W=\frac{1}{8} \left( -4a\sqrt{a^2+1} \right) \left( \left( 8a^4 + 8a^2 -4a\sqrt{a^2+1} -8a^3\sqrt{a^2+1}+1 \right)+ \\ \quad - \left( 8a^4 + 8a^2 +4a\sqrt{a^2+1} +8a^3\sqrt{a^2+1}+1 \right) \right) \)
\(W=\frac{1}{8} \left( -4a\sqrt{a^2+1} \right)\left( -8a\sqrt{a^2+1} -16a^3\sqrt{a^2+1} \right)\)
\(W=\frac{1}{8} \left( 32a^2 \left( a^2+1\right) + 64a^4 \left( a^2+1 \right) \right) \)
\(W= 4a^2 \left( a^2+1\right) + 8a^4 \left( a^2+1 \right) \)
\(W=4a^4+4a^2+8a^6+8a^4\)
\(W=4a^2 \left( 2a^4 + 3a^2 + 1\right) \)
i jeżeli się nigdzie nie pomyliłem to nie widzę by ostateczny wynik był iloczynem kolejnych liczb całkowitych. Dla \(a=1\) mamy iloczyn \(4 \cdot 6\) zaś dla \(a=2\) otrzymujemy \(16 \cdot 45 = 48 \cdot 15\)
Ostatnio zmieniony 14 cze 2020, 13:27 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: poprawa kodu
Powód: poprawa kodu
- Jerry
- Expert
- Posty: 3530
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 50 razy
- Otrzymane podziękowania: 1938 razy
Re: funkcja kwadratowa
\(4 \cdot 6=2\cdot3\cdot4\)
\(16 \cdot 45 = 48 \cdot 15=2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\)
Mnie - nie przekonałeś...
Pozdrawiam