forum.zadania.info

Pokaż że dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\)mamy
\(\sum_{k=1}^{n} \frac{2^k}{\sqrt{k+0,5}} \le 2^{n+1}\sqrt{n+1}-\frac{4n^{3/2}}{3}\)

Dla \(n=1\)
\( \sum_{k=1}^{1} \frac{2^k}{ \sqrt{k+0,5} }= \frac{2}{ \sqrt{1,5}} \le 4 \sqrt{3}- \frac{4}{3} \)
Dowód:
\(\frac{2}{ \sqrt{1,5}} \le 4 \sqrt{3}- \frac{4}{3}\) \(/* \sqrt{3} \)
\(2 \sqrt{2} \le 4 \le 9 \le 12- \frac{4 \sqrt{3} }{3}\)

Zakładamy że zachodzi dla n wtedy dla n+1
\( \sum_{k=1}^{n+1} \frac{2^k}{ \sqrt{k+0,5} } = \sum_{k=1}^{n} \frac{2^k}{ \sqrt{k+0,5} }+ \frac{2^{n+1}}{ \sqrt{n+1,5} } \le 2^{n+1} \sqrt{n+1}- \frac{4n^{\frac{3}{2}}}{3}+ \frac{2^{n+1}}{ \sqrt{n+1,5} }\)
Wystarczy zatem udowodnić że:

\( 2^{n+1} \sqrt{n+1}- \frac{4n^{\frac{3}{2}}}{3}+ \frac{2^{n+1}}{ \sqrt{n+1,5} } \le 2^{n+2} \sqrt{n+2}- \frac{4(n+1)^{\frac{3}{2}}}{3}\)

Równoważnie:

\(2^{n+2} \sqrt{n+2}- \frac{4(n+1)^{\frac{3}{2}}}{3}- 2^{n+1} \sqrt{n+1}+ \frac{4n^{\frac{3}{2}}}{3}- \frac{2^{n+1}}{ \sqrt{n+1,5} } \ge 0 \)

I wtedy poprzez indukcje zachodzi dla wszystkich możesz spróbować dokończyć
Być może powyższa nie zachodzi wtedy można spróbować jakiejś innej indukcji np. z n na 2n ale ja bym napewno próbował indukcją

Ok, ale ten ostatni krok jest najtrudniejszy do wykazania właśnie...