forum.zadania.info

Punkt \(A =(6,-4)\) jest środkiem symetrii wykresu funkcji homograficznej określonej wzorem
\(f(x)= \frac{ax+3}{x+d}\) gdy \(x\neq -d\) . Oblicz iloraz \(\frac{d}{a}\)

To zadanie maturalne jest za dwa punkty, więc powinno być proste. Znam odpowiedź, ale nie rozumiem rozwiązania. Z góry dzięki za pomoc

jeżeli \((6,-4)\) jest środkiem symetrii hiperboli, to hiperbola ma asymptoty: \(x=6, y=-4\)
Asymptota \(x=6\) oznacza, że \(D=\mathbb{R}\setminus\{6\}\), czyli dla \(x=6\) mianownik się zeruje
\(x+d=0\mbox{ dla }x=6\\
6+d=0\\
d=-6\)
Asymptota \(y=-4\) oznacza, że \(\Lim_{x\to \infty}f(x)=-4\)
\(\Lim_{x\to\infty}\frac{ax+3}{x-6}=-4\\
\Lim_{x\to \infty}\frac{a+\frac{3}{x}}{1-\frac{6}{x}}=-4\\
\frac{a+0}{1-0}=-4\\
a=-4\)

Drugi sposób wyznaczenia a:
\(f(x)=\frac{ax+3}{x-6}\\
f(x)=\frac{a(x-6)+3+6a}{x-6}\\
f(x)=\frac{a(x-6)}{x-6}+\frac{3+6a}{x-6}\\
f(x)=\frac{3+6a}{x-6}+a\)
asymptota pozioma: \(y=a\)
\(y=a\\
y=-4\\
a=-4\)

Dzięki wielkie )