forum.zadania.info

a) \(z= \sqrt{25-(x^2+y^2)} \), \(z=x^2+y^2-13\)
b) \(x^2+y^2+z^2=4\), \(z=1(z \ge 1) \)

a) Najpierw rysunek: Miejsce przecięcia: \(x^2+y^2=z+13,\,\, z=\sqrt{25-(x^2+y^2)}=\sqrt{25-z-13}=\sqrt{12-z} \So z^2=12-z \So z=3>0, \,\, z=-4<0\)

To koło, które widać na obrazku ma równanie \(x^2+y^2=3+13=16\) - to równanie okręgu o promieniu 4

\(\displaystyle |V|=\iint_D(\sqrt{25-x^2-y^2}-x^2-y^2+13){dx}{dy}, \quad D=\{(x,y): -4\le x \le 4, \,\, -\sqrt{4-x^2}\le y \le \sqrt{4-x^2}\}\)
Przechodząc na współrzędne walcowe, mamy \(D=\{(r,t): 0\le r \le 4, 0\le t \le 2\pi\}\)
\(|V|=\displaystyle \int_{0}^{2\pi} dt \int_{0}^{4}(\sqrt{25-r^2}-r^2+13)\cdot r{dr}=\ldots =\frac{436\pi}{3} \)

b) Rysunek Przecięcie:\( z=1,\,\,z^2+y^2+z^2=4 \So x^2+y^2=3\) - koło o promieniu \(\sqrt3\) (na wysokości z=1)
Przechodząc na współrzędne walcowe, czy jak je tam zwał, mamy
\(|V|=\displaystyle \int_{0}^{2\pi}dt \int_{0}^{\sqrt3} \left(\sqrt{4-r^2}-1 \right) r{dr} =\ldots = \frac{5}{3}\pi \)