Aguś56 pisze: ↑12 maja 2020, 15:38
Wyznacz ekstrema globalne funkcji
\(g(x,y)=x^2y(2-x-y) \)na trójkącie T ograniczonym prostymi o równaniach x=0, y=0 x+y=6
1. Najpierw liczymy ekstrema tak, jakby nie było żadnego trójkąta (wewnątrz T):
\( \begin{cases} \frac{ \partial g}{ \partial x}=0\\ \frac{ \partial g}{ \partial y}=0 \end{cases} \iff \begin{cases}xy(4-3x-2y)=0 \\ -x^2(x+2y-2)=0 \end{cases} \iff \begin{cases}x=0\\y\in \rr \end{cases} \vee \begin{cases}x=1\\y= \frac{1}{2} \end{cases} \vee \begin{cases}x=2\\y=0 \end{cases} \).
Mamy zatem punkty krytyczne
\( (0,y), (1, \frac{1}{2}) \text{ i } (2,0) \) oraz
\(g(0,y)=g(2,0)=0, \,\,\, g(1, \frac{1}{2})=0,25 \)
Nie kontynuujemy badania ekstremów, bo trzeba jeszcze znależć możliwe ekstrema na brzegu obszaru, czyli na prostej
\(x+y=6 \iff y=6-x\) i
\(g(x,y)=g(x,6-x)=f(x)=-4x^2(6-x)\)
Teraz normalnie:
\(f'(x)=12x(x-4) \So f'(x)=0 \iff x=0 \vee x=4 , \,\,\, f(0)=0, \,\,\, f(4)=-128\).
Też nie analizujemy zmian znaku ponieważ trójkąt T jest zbiorem ograniczonym i funkcja g(x,y) musi na nim przyjmować kresy (wartości globalnie ekstremalne). Porównując policzone wartości
\(\{-128, 0, 0.25\}\) stwierdzamy
Odpowiedź: Dla \((x,y)\in T: g_{min}(x,y)=g(4,2)=-128, \,\,\, g_{max}(x,y)=g(1, \frac{1}{2})= \frac{1}{4} \)