forum.zadania.info

Rozwiąż równanie \(\cos(12x)=5\sin(3x)+9\tg^2x+\ctg^2x\)

Dla \(x\ne k\frac{\pi}{2}\wedge k\in\zz\) mamy:

\(1^\circ\ 3\tg^2 x+\frac{1}{3\tg^2 x}\ge2\iff 9\tg^2x+\ctg^2x\ge 6\)
Równość zachodzi dla \(3\tg^2 x=1\)

\(2^\circ\ \sin 3x\ge-1\iff 5\sin 3x\ge-5\)
Równość zachodzi dla \(\sin 3x=-1\)

\(3^\circ\ \cos 12x\le 1\)
Równość zachodzi dla \(\cos 12 x =1\)

Ponieważ
\(L_R\le 1=-5+6\le P_R\)
to równość zajdzie, o ile \(L_R=P_R=1\), czyli \( \begin{cases}3\tg^2 x=1\\\sin 3x=-1\\ \cos 12 x =1\end{cases} \)

\(\left(x=\pm\frac{\pi}{6}+k\pi\wedge x=-\frac{\pi}{6}+k\frac{2\pi}{3}\wedge x=k\frac{\pi}{6}\right)\wedge k\in\zz\)

Odp. \(\left(x=-\frac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi\vee x=\frac{7\pi}{6}+k\cdot 2\pi\right)\wedge k\in\zz\)

Pozdrawiam

Mógłbyś wyjaśnić tę równoważność:

\( 3\tg^2 x+\frac{1}{3\tg^2 x}\ge2\iff 9\tg^2x+\ctg^2x\ge 6\)

panb pisze: ↑12 maja 2020, 13:04 Mógłbyś wyjaśnić ...

Nie wiem, od którego momentu... To od początku.

Dla \(a>0\) mamy \(a+\frac{1}{a}\ge2\) i równość dla \(a=1\)

Jeśli \(a=3\tg^2 x\), to
\( 3\tg^2 x+\frac{1}{3\tg^2 x}\ge2\ \ |\cdot 3\)
\( 9\tg^2 x+\frac{1}{\tg^2 x}\ge 6\wedge \frac{1}{\tg^2 x}=\ctg^2 x\)
\( 9\tg^2x+\ctg^2x\ge 6\)

Pozdrawiam

Czyli równanie ma szansę zajść jedynie wtedy gdy : 1=-5+6, a stąd układ:
\( \begin{cases} 12x=n2 \pi \\ 3x= \frac{- \pi }{2} +m2 \pi \\ x= \frac{ \pi }{4} +k \frac{ \pi }{2} \end{cases} \)
który jest sprzeczny.

Proponowany przez Ciebie układ jest sprzeczny, tylko nie wiem skąd wziąłeś równanie:

kerajs pisze: ↑12 maja 2020, 21:51 \(x= \frac{ \pi }{4} +k \frac{ \pi }{2}\)

Pozdrawiam

Z rutyny? Z ignorancji? Z głupoty?

Równanie o które pytasz jest błędne, gdyż nierówność:
\(3\tg ^2x + \frac{1}{3\tg ^2x} \ge 2\)
staje się równością
\(3\tg ^2x + \frac{1}{3\tg ^2x} = 2\)
dla
\(\tg ^2x = \frac{1}{3} \)
więc tam powinno być:
\(x= \frac{ \pi }{6} +k \pi \ \ \ \vee \ \ \ x= \frac{ - \pi }{6} +k \pi\)

SORRY!

Tak to wygląda : wiec z tym \( \frac{\pi}{6} \) trzeba coś poprawić