forum.zadania.info

Niech wierzchołki \(\Delta ABC\) należą do wykresu funkcji \(f(x)=x^2\) oraz niech M(1,7) punkt przecięcia jego środkowych. Wyznacz największą możliwą wartość pola \(\Delta ABC.\)

Niech wierzchołki tego trójkąta mają współrzędne: \((x,x^2),\,\, (y,y^2),\,\,(z,z^2)\), jego pole wyraża się jako \( \frac{1}{2}|P| \), gdzie \(P= \begin{vmatrix}x&x^2&1\\y&y^2&1\\z&z^2&1 \end{vmatrix}=-(x-y)(x-z)(y-z) \)
Jeśli punkt przecięcia środkowych ma współrzędne (1,7), to \( \begin{cases}x+y+z=3\\x^2+y^2+z^2=21 \end{cases} \)

Szukamy ekstremów funkcji \(f(x,y,z)=(x-y)(x-z)(y-z)\) przy warunkach \(\begin{cases}x+y+z=3\\x^2+y^2+z^2=21\end{cases}\)
Warunek możemy zapisać w postaci jednego równania: \(x^2+y^2+(3-x-y)^2=21\), a funkcja, której ekstremum nas interesuje to \(p(x,y)=(x-y)(x-3+x+y)(y-3+x+y)=(x-y)(2x+y-3)(x+2y-3)\).
Sformułuję jeszcze raz zadanie: znaleźć największą wartość funkcji
\[p(x,y)=(x-y)(2x+y-3)(x+2y-3) \text{ przy warunku } x^2+y^2+(3-x-y)^2=21\]

Stosujemy metodę mnożnika Lagrange'a: \(F(x,y,a)=(x-y)(2x+y-3)(x+2y-3)+a(x^2+y^2+(3-x-y)^2-21)\\
\frac{ \partial F}{ \partial x}=a (2 x - 2 (3 - x - y)) + (x - y) (-3 + 2 x + y) +
2 (x - y) (-3 + x + 2 y) + (-3 + 2 x + y) (-3 + x + 2 y)=\\=9 + 6 x^2 + 6 x (-3 + y) - 3 y^2 + 2 a (-3 + 2 x + y) \\
\frac{ \partial F}{ \partial y}= (x - y) (-3 + 2 x + y) + (x - y) (-3 + x + 2 y) - (-3 + 2 x +
y) (-3 + x + 2 y) + a (-2 (3 - x - y) + 2 y)=\\=-9 + x^2 + x (3 - 5 y) + 15 y - 5 y^2 + 2 a (-3 + x + 2 y)\\
\frac{ \partial F}{ \partial a}=-21 + x^2 + (3 - x - y)^2 + y^2=2 (-6 + x^2 + x (-3 + y) - 3 y + y^2)\)

Teraz rozwiązujemy układ równań:
\[ \begin{cases}9 + 6 x^2 + 6 x (-3 + y) - 3 y^2 + 2 a (-3 + 2 x + y)=0\\ -9 + x^2 + x (3 - 5 y) + 15 y - 5 y^2 + 2 a (-3 + x + 2 y)=0\\ -6 + x^2 + x (-3 + y) - 3 y + y^2=0\end{cases} \]
Ten kosmiczny układ równań ma 6 rozwiązań, dających jeden zestaw wierzchołków trójkąta, a mianowicie: (1,1), (-2,4) oraz (4,16).

\(p(x,y)=54\), zatem pole takiego trójkąta jest równe \(|- \frac{1}{2} \cdot 54|= 27\). Warunek \( x^2+y^2+(3-x-y)^2=21\) określa elipsę, zbiór zwarty/domknięty, na którym funkcja musi osiągać ekstremum (twierdzenie kogoś tam).
Czy to jest maksimum? Jest to największa z wartości (bo jedyna) - nie otrzymaliśmy innego zestawu współrzędnych spełniających układ równań (nad wyjaśnieniem trzeba by jeszcze popracować, ale może to będzie praca własna... - ja już idę spać).

P.S. To zadanie da się pewnie zrobić metodami ze szkoły średniej - równania prostych wychodzą kosmiczne. Ale walić to. Zaciekawiło mnie, więc rozwiązałem metodami analitycznymi. Nawet jak się nie nada, to jest poprawna odpowiedź do porównania dla "liczących inaczej"

Też rozwiązałem ale metodami fizycznymi tylko nie umiem tego tu narysować ;(

To strzel fotkę i zamieść ją tu jako załącznik. Naprawdę jestem ciekawy tego rozwiązania.