pole trójkta
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Często tu bywam
- Posty: 173
- Rejestracja: 01 cze 2016, 07:58
- Podziękowania: 14 razy
- Otrzymane podziękowania: 5 razy
pole trójkta
Niech wierzchołki \(\Delta ABC\) należą do wykresu funkcji \(f(x)=x^2\) oraz niech M(1,7) punkt przecięcia jego środkowych. Wyznacz największą możliwą wartość pola \(\Delta ABC.\)
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: pole trójkta
Niech wierzchołki tego trójkąta mają współrzędne: \((x,x^2),\,\, (y,y^2),\,\,(z,z^2)\), jego pole wyraża się jako \( \frac{1}{2}|P| \), gdzie \(P= \begin{vmatrix}x&x^2&1\\y&y^2&1\\z&z^2&1 \end{vmatrix}=-(x-y)(x-z)(y-z) \)
Jeśli punkt przecięcia środkowych ma współrzędne (1,7), to \( \begin{cases}x+y+z=3\\x^2+y^2+z^2=21 \end{cases} \)
Szukamy ekstremów funkcji \(f(x,y,z)=(x-y)(x-z)(y-z)\) przy warunkach \(\begin{cases}x+y+z=3\\x^2+y^2+z^2=21\end{cases}\)
Warunek możemy zapisać w postaci jednego równania: \(x^2+y^2+(3-x-y)^2=21\), a funkcja, której ekstremum nas interesuje to \(p(x,y)=(x-y)(x-3+x+y)(y-3+x+y)=(x-y)(2x+y-3)(x+2y-3)\).
Sformułuję jeszcze raz zadanie: znaleźć największą wartość funkcji
\[p(x,y)=(x-y)(2x+y-3)(x+2y-3) \text{ przy warunku } x^2+y^2+(3-x-y)^2=21\]
Stosujemy metodę mnożnika Lagrange'a: \(F(x,y,a)=(x-y)(2x+y-3)(x+2y-3)+a(x^2+y^2+(3-x-y)^2-21)\\
\frac{ \partial F}{ \partial x}=a (2 x - 2 (3 - x - y)) + (x - y) (-3 + 2 x + y) +
2 (x - y) (-3 + x + 2 y) + (-3 + 2 x + y) (-3 + x + 2 y)=\\=9 + 6 x^2 + 6 x (-3 + y) - 3 y^2 + 2 a (-3 + 2 x + y) \\
\frac{ \partial F}{ \partial y}= (x - y) (-3 + 2 x + y) + (x - y) (-3 + x + 2 y) - (-3 + 2 x +
y) (-3 + x + 2 y) + a (-2 (3 - x - y) + 2 y)=\\=-9 + x^2 + x (3 - 5 y) + 15 y - 5 y^2 + 2 a (-3 + x + 2 y)\\
\frac{ \partial F}{ \partial a}=-21 + x^2 + (3 - x - y)^2 + y^2=2 (-6 + x^2 + x (-3 + y) - 3 y + y^2)\)
Teraz rozwiązujemy układ równań:
\[ \begin{cases}9 + 6 x^2 + 6 x (-3 + y) - 3 y^2 + 2 a (-3 + 2 x + y)=0\\ -9 + x^2 + x (3 - 5 y) + 15 y - 5 y^2 + 2 a (-3 + x + 2 y)=0\\ -6 + x^2 + x (-3 + y) - 3 y + y^2=0\end{cases} \]
Ten kosmiczny układ równań ma 6 rozwiązań, dających jeden zestaw wierzchołków trójkąta, a mianowicie: (1,1), (-2,4) oraz (4,16).
\(p(x,y)=54\), zatem pole takiego trójkąta jest równe \(|- \frac{1}{2} \cdot 54|= 27\). Warunek \( x^2+y^2+(3-x-y)^2=21\) określa elipsę, zbiór zwarty/domknięty, na którym funkcja musi osiągać ekstremum (twierdzenie kogoś tam).
Czy to jest maksimum? Jest to największa z wartości (bo jedyna) - nie otrzymaliśmy innego zestawu współrzędnych spełniających układ równań (nad wyjaśnieniem trzeba by jeszcze popracować, ale może to będzie praca własna... - ja już idę spać).
P.S. To zadanie da się pewnie zrobić metodami ze szkoły średniej - równania prostych wychodzą kosmiczne. Ale walić to. Zaciekawiło mnie, więc rozwiązałem metodami analitycznymi. Nawet jak się nie nada, to jest poprawna odpowiedź do porównania dla "liczących inaczej"
Jeśli punkt przecięcia środkowych ma współrzędne (1,7), to \( \begin{cases}x+y+z=3\\x^2+y^2+z^2=21 \end{cases} \)
Szukamy ekstremów funkcji \(f(x,y,z)=(x-y)(x-z)(y-z)\) przy warunkach \(\begin{cases}x+y+z=3\\x^2+y^2+z^2=21\end{cases}\)
Warunek możemy zapisać w postaci jednego równania: \(x^2+y^2+(3-x-y)^2=21\), a funkcja, której ekstremum nas interesuje to \(p(x,y)=(x-y)(x-3+x+y)(y-3+x+y)=(x-y)(2x+y-3)(x+2y-3)\).
Sformułuję jeszcze raz zadanie: znaleźć największą wartość funkcji
\[p(x,y)=(x-y)(2x+y-3)(x+2y-3) \text{ przy warunku } x^2+y^2+(3-x-y)^2=21\]
Stosujemy metodę mnożnika Lagrange'a: \(F(x,y,a)=(x-y)(2x+y-3)(x+2y-3)+a(x^2+y^2+(3-x-y)^2-21)\\
\frac{ \partial F}{ \partial x}=a (2 x - 2 (3 - x - y)) + (x - y) (-3 + 2 x + y) +
2 (x - y) (-3 + x + 2 y) + (-3 + 2 x + y) (-3 + x + 2 y)=\\=9 + 6 x^2 + 6 x (-3 + y) - 3 y^2 + 2 a (-3 + 2 x + y) \\
\frac{ \partial F}{ \partial y}= (x - y) (-3 + 2 x + y) + (x - y) (-3 + x + 2 y) - (-3 + 2 x +
y) (-3 + x + 2 y) + a (-2 (3 - x - y) + 2 y)=\\=-9 + x^2 + x (3 - 5 y) + 15 y - 5 y^2 + 2 a (-3 + x + 2 y)\\
\frac{ \partial F}{ \partial a}=-21 + x^2 + (3 - x - y)^2 + y^2=2 (-6 + x^2 + x (-3 + y) - 3 y + y^2)\)
Teraz rozwiązujemy układ równań:
\[ \begin{cases}9 + 6 x^2 + 6 x (-3 + y) - 3 y^2 + 2 a (-3 + 2 x + y)=0\\ -9 + x^2 + x (3 - 5 y) + 15 y - 5 y^2 + 2 a (-3 + x + 2 y)=0\\ -6 + x^2 + x (-3 + y) - 3 y + y^2=0\end{cases} \]
Ten kosmiczny układ równań ma 6 rozwiązań, dających jeden zestaw wierzchołków trójkąta, a mianowicie: (1,1), (-2,4) oraz (4,16).
\(p(x,y)=54\), zatem pole takiego trójkąta jest równe \(|- \frac{1}{2} \cdot 54|= 27\). Warunek \( x^2+y^2+(3-x-y)^2=21\) określa elipsę, zbiór zwarty/domknięty, na którym funkcja musi osiągać ekstremum (twierdzenie kogoś tam).
Czy to jest maksimum? Jest to największa z wartości (bo jedyna) - nie otrzymaliśmy innego zestawu współrzędnych spełniających układ równań (nad wyjaśnieniem trzeba by jeszcze popracować, ale może to będzie praca własna... - ja już idę spać).
P.S. To zadanie da się pewnie zrobić metodami ze szkoły średniej - równania prostych wychodzą kosmiczne. Ale walić to. Zaciekawiło mnie, więc rozwiązałem metodami analitycznymi. Nawet jak się nie nada, to jest poprawna odpowiedź do porównania dla "liczących inaczej"
-
- Expert
- Posty: 6270
- Rejestracja: 04 lip 2014, 14:55
- Podziękowania: 83 razy
- Otrzymane podziękowania: 1523 razy
- Płeć:
Re: pole trójkta
Też rozwiązałem ale metodami fizycznymi tylko nie umiem tego tu narysować ;(
Pomoc w rozwiązywaniu zadań z fizyki, opracowanie statystyczne wyników "laborek", przygotowanie do klasówki, kolokwium, matury z matematyki i fizyki itd.
mailto: korki_fizyka@tlen.pl
mailto: korki_fizyka@tlen.pl