pole trójkta

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
inter
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 109
Rejestracja: 01 cze 2016, 07:58
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy

pole trójkta

Post autor: inter » 04 maja 2020, 14:29

Niech wierzchołki \(\Delta ABC\) należą do wykresu funkcji \(f(x)=x^2\) oraz niech M(1,7) punkt przecięcia jego środkowych. Wyznacz największą możliwą wartość pola \(\Delta ABC.\)

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 3617
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 7 razy
Otrzymane podziękowania: 1271 razy
Płeć:

Re: pole trójkta

Post autor: panb » 05 maja 2020, 00:24

Niech wierzchołki tego trójkąta mają współrzędne: \((x,x^2),\,\, (y,y^2),\,\,(z,z^2)\), jego pole wyraża się jako \( \frac{1}{2}|P| \), gdzie \(P= \begin{vmatrix}x&x^2&1\\y&y^2&1\\z&z^2&1 \end{vmatrix}=-(x-y)(x-z)(y-z) \)
Jeśli punkt przecięcia środkowych ma współrzędne (1,7), to \( \begin{cases}x+y+z=3\\x^2+y^2+z^2=21 \end{cases} \)

Szukamy ekstremów funkcji \(f(x,y,z)=(x-y)(x-z)(y-z)\) przy warunkach \(\begin{cases}x+y+z=3\\x^2+y^2+z^2=21\end{cases}\)
Warunek możemy zapisać w postaci jednego równania: \(x^2+y^2+(3-x-y)^2=21\), a funkcja, której ekstremum nas interesuje to \(p(x,y)=(x-y)(x-3+x+y)(y-3+x+y)=(x-y)(2x+y-3)(x+2y-3)\).
Sformułuję jeszcze raz zadanie: znaleźć największą wartość funkcji
\[p(x,y)=(x-y)(2x+y-3)(x+2y-3) \text{ przy warunku } x^2+y^2+(3-x-y)^2=21\]

Stosujemy metodę mnożnika Lagrange'a: \(F(x,y,a)=(x-y)(2x+y-3)(x+2y-3)+a(x^2+y^2+(3-x-y)^2-21)\\
\frac{ \partial F}{ \partial x}=a (2 x - 2 (3 - x - y)) + (x - y) (-3 + 2 x + y) +
2 (x - y) (-3 + x + 2 y) + (-3 + 2 x + y) (-3 + x + 2 y)=\\=9 + 6 x^2 + 6 x (-3 + y) - 3 y^2 + 2 a (-3 + 2 x + y) \\
\frac{ \partial F}{ \partial y}= (x - y) (-3 + 2 x + y) + (x - y) (-3 + x + 2 y) - (-3 + 2 x +
y) (-3 + x + 2 y) + a (-2 (3 - x - y) + 2 y)=\\=-9 + x^2 + x (3 - 5 y) + 15 y - 5 y^2 + 2 a (-3 + x + 2 y)\\
\frac{ \partial F}{ \partial a}=-21 + x^2 + (3 - x - y)^2 + y^2=2 (-6 + x^2 + x (-3 + y) - 3 y + y^2)\)


Teraz rozwiązujemy układ równań:
\[ \begin{cases}9 + 6 x^2 + 6 x (-3 + y) - 3 y^2 + 2 a (-3 + 2 x + y)=0\\ -9 + x^2 + x (3 - 5 y) + 15 y - 5 y^2 + 2 a (-3 + x + 2 y)=0\\ -6 + x^2 + x (-3 + y) - 3 y + y^2=0\end{cases} \]
Ten kosmiczny układ równań ma 6 rozwiązań, dających jeden zestaw wierzchołków trójkąta, a mianowicie: (1,1), (-2,4) oraz (4,16).

\(p(x,y)=54\), zatem pole takiego trójkąta jest równe \(|- \frac{1}{2} \cdot 54|= 27\). Warunek \( x^2+y^2+(3-x-y)^2=21\) określa elipsę, zbiór zwarty/domknięty, na którym funkcja musi osiągać ekstremum (twierdzenie kogoś tam).
Czy to jest maksimum? Jest to największa z wartości (bo jedyna) - nie otrzymaliśmy innego zestawu współrzędnych spełniających układ równań (nad wyjaśnieniem trzeba by jeszcze popracować, ale może to będzie praca własna... - ja już idę spać).

P.S. To zadanie da się pewnie zrobić metodami ze szkoły średniej - równania prostych wychodzą kosmiczne. Ale walić to. Zaciekawiło mnie, więc rozwiązałem metodami analitycznymi. Nawet jak się nie nada, to jest poprawna odpowiedź do porównania dla "liczących inaczej" :)

korki_fizyka
Expert
Expert
Posty: 4522
Rejestracja: 04 lip 2014, 14:55
Podziękowania: 10 razy
Otrzymane podziękowania: 531 razy
Płeć:

Re: pole trójkta

Post autor: korki_fizyka » 05 maja 2020, 14:34

Też rozwiązałem ale metodami fizycznymi tylko nie umiem tego tu narysować ;(
Pomoc w rozwiązywaniu zadań z fizyki, opracowanie statystyczne wyników "laborek", przygotowanie do klasówki, kolokwium, matury z matematyki i fizyki itd.
mailto: korki_fizyka@tlen.pl

kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1869
Rejestracja: 14 lis 2016, 15:38
Podziękowania: 9 razy
Otrzymane podziękowania: 798 razy
Płeć:

Re: pole trójkta

Post autor: kerajs » 05 maja 2020, 21:11

To strzel fotkę i zamieść ją tu jako załącznik. Naprawdę jestem ciekawy tego rozwiązania.