geometria analityczna- obliczenie punktu przecięcia okręgów

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
00wk00
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 14
Rejestracja: 15 kwie 2020, 19:23
Podziękowania: 13 razy
Płeć:

geometria analityczna- obliczenie punktu przecięcia okręgów

Post autor: 00wk00 » 04 maja 2020, 14:14

Dany jest okrąg o1 o środku w punkcie S1=(-4,0) i promieniu 5. S2=(4,0). (okrąg2 jest symetryczny względem osi OY).
a) oblicz współrzędne punktów Z1 i Z2, w których przecinają się okręgi o1 i o2.

I zrobiłam rysunek i Z1 wyszło mi, że jest to 0,3 a Z2 to 0,-3. Ale muszę obliczyć te współrzędne, a nie przedstawić na rysunku, ale nie wiem jak.
Z góry dziękuję za pomoc

Awatar użytkownika
eresh
Mistrz
Mistrz
Posty: 14386
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 8462 razy
Płeć:

Re: geometria analityczna- obliczenie punktu przecięcia okręgów

Post autor: eresh » 04 maja 2020, 14:20

trzeba rozwiązać układ równań złożony z równań tych okręgów

\(\begin{cases}(x-4)^2+y^2=25\\(x+4)^2+y^2=25\end{cases}
\begin{cases}y^2=25-(x-4)^2\\(x+4)^2+25-(x-4)^2=25\end{cases}\\
(x+4)^2+25-(x-4)^2=25\\
(x+4)^2=(x-4)^2\\
|x+4|=|x-4|\\
x+4=x-4\;\;\vee\;\;x+4-==-x+4\\
2x=0\\
x=0\\
y^2=25-16\\
y=3\;\;\vee\;\;y=-3\\
A(0,3)\\
B(0,-3)\)

00wk00
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 14
Rejestracja: 15 kwie 2020, 19:23
Podziękowania: 13 razy
Płeć:

Re: geometria analityczna- obliczenie punktu przecięcia okręgów

Post autor: 00wk00 » 04 maja 2020, 14:27

A czy jest jeszcze jakiś inny sposób na zrobienie tego?

Awatar użytkownika
eresh
Mistrz
Mistrz
Posty: 14386
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 8462 razy
Płeć:

Re: geometria analityczna- obliczenie punktu przecięcia okręgów

Post autor: eresh » 04 maja 2020, 14:33

00wk00 pisze:
04 maja 2020, 14:27
A czy jest jeszcze jakiś inny sposób na zrobienie tego?
pewnie mnóstwo :) A co Ci nie odpowiada w moim rozwiązaniu? :)

00wk00
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 14
Rejestracja: 15 kwie 2020, 19:23
Podziękowania: 13 razy
Płeć:

Re: geometria analityczna- obliczenie punktu przecięcia okręgów

Post autor: 00wk00 » 04 maja 2020, 14:37

Chodzi o to, że nie rozumiem czemu tam jest do kwadratu itp. Ale dobra mniejsza, zrobie tak jak jest. Dzięki za pomoc

Awatar użytkownika
eresh
Mistrz
Mistrz
Posty: 14386
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 8462 razy
Płeć:

Re: geometria analityczna- obliczenie punktu przecięcia okręgów

Post autor: eresh » 04 maja 2020, 14:39

00wk00 pisze:
04 maja 2020, 14:37
Chodzi o to, że nie rozumiem czemu tam jest do kwadratu itp. Ale dobra mniejsza, zrobie tak jak jest. Dzięki za pomoc
Chętnie wytłumaczę, jeśli coś jest niejasne. Śmiało pytaj

00wk00
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 14
Rejestracja: 15 kwie 2020, 19:23
Podziękowania: 13 razy
Płeć:

Re: geometria analityczna- obliczenie punktu przecięcia okręgów

Post autor: 00wk00 » 04 maja 2020, 14:47

Tylko, że ja nawet nie wiem czego nie rozumiem hah
Ale dobra może uda mi się. Więc tak zrobiłaś to:
(x−4)2+y2=25
(x+4)2+y2=25
ale czemu jest taki układ równań?

Awatar użytkownika
eresh
Mistrz
Mistrz
Posty: 14386
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 8462 razy
Płeć:

Re: geometria analityczna- obliczenie punktu przecięcia okręgów

Post autor: eresh » 04 maja 2020, 14:52

równanie okręgu o środku w punkcie (a,b) i promieniu r: \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)
pierwszy okrąg - środek \((4,0)\), promień \(5\) - równanie: \((x-4)^2+(y-0)^2=5^2\)
drugi - środek \((-4,0)\), promień \(5\) - równanie: \((x-(-4))^2+(y-0)^2=5^2\)

Żeby znaleźć punkty wspólne dowolnych dwóch krzywych rozwiązujemy układ równań złożony z równań tych krzywych, czyli u nas:
\(\begin{cases}(x-4)^2+(y-0)^2=5^2\\ (x-(-4))^2+(y-0)^2=5^2\end{cases}\)

Awatar użytkownika
eresh
Mistrz
Mistrz
Posty: 14386
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 8462 razy
Płeć:

Re: geometria analityczna- obliczenie punktu przecięcia okręgów

Post autor: eresh » 04 maja 2020, 15:19

Może takie rozwiązanie będzie dla Ciebie łatwiejsze:

S - środek odcinka \(O_1O_2\)
\(S(0,0)\)
prosta \(O_1O2\) ma równanie \(y=0\)
prosta do niej prostopadła (na niej będą leżały punkty wspólne obu okręgów) ma równanie \(x=0\). Zatem punkty wspólne mają postać \(A(0,y)\)
\(|O_1A|=|O_2A|=5\)
\(|O_1A|=5\\
\sqrt{(0+4)^2+(y-0)^2}=5\\
\sqrt{16+y^2}=5\\
16+y^2=25\\
y^2=9\\
y=3\;\;\vee\;\;y=-3\\
A(0,3)\\
B(0,-3)\)