forum.zadania.info

Dobry wieczór!
Natrafiłem na zadanie: \((1+x+x^2)^9 = .....+Ax^5+.....\) i trzeba znaleźć wartość A. Chciałem to zrobić uogólnioną wersją wzoru dwumianowego Newtona, ale nie jestem pewien czy ta metoda jest dobra, a jeśli tak, to jak to szczegółowo rozpisać. Będę wdzięczny za pomoc.

Popatrz na to tak:
\(\displaystyle (1+x+x^2)^9=[(1+x)+x^2]^9= \sum_{n=0}^{9} {9\choose n}(1+x)^n \cdot x^{2(9-n)}= \sum_{n=0}^{9} \sum_{k=0}^{n}{9\choose n}{n\choose k}x^kx^{18-2n} \)

Czyli:
\[\displaystyle (1+x+x^2)^9= \sum_{n=0}^{9} \sum_{k=0}^{n}{9\choose n}{n\choose k}x^{18-2n+k} \]
Teraz trzeba tak dobrać n i k, że by otrzymać \(x^5\) pamiętając, że jeśli wybierzemy n, to \(0 \le k \le n\)

Tutaj musisz mnie sprawdzić:
\(18-2n+k=5 \wedge 0 \le k \le n \So 2n-k=13 \wedge 0 \le k \le n \So \begin{cases}n=7,\,\, k=1\\n=8,\,\, k=3\\n=9,\,\, k=5 \end{cases} \)
Teraz wystarczy policzyć wartości tych współczynników i je dodać (wychodzi 882).

Co ty na to?

P.S. Sprawdziłem Wolframem - ZGADZA SIĘ!

Dziękuję bardzo, tak zrobiłem do momentu wyprowadzenia wzoru na sumę. Zastanawia mnie tylko, skoro jest suma, że nie trzeba dodać dla wszystkich wartości od n=0 do 9? Wybieramy konkretną liczbę nie sumując?

Sumujemy jak chcemy całość. My szukamy gdzie wystąpi \(x^5\) i bierzemy jego współczynnik.
Weźmy \(n=2:\,\, \displaystyle {9\choose 2} \left[{2\choose 0}x^{14}+{2\choose1}x^{13}+{2\choose2}x^{12} \right] \)
Gdyby interesował nas współczynnik przy \(x^{12}\), to wzięlibyśmy z tego tylko \(\displaystyle {9\choose 2} \cdot {2\choose2}\) i szukalibyśmy innych nawiasów kwadratowych, w których taki wykładnik się zdarzy. Dobieranie tej sumy, to właśnie wybór takiego nawiasu i z niego odpowiedniego składnika.

Ciut inaczej:
Gdyby grupować tak: \((x^2+x+1)^9=(x+(x^2+1))^9\) to \(x^5\) wystąpi w wyrażeniach:
\( { 9\choose 1} x^1(x^2+1)^8 \ , \ { 9\choose 3} x^3(x^2+1)^6 \ i \ { 9\choose 5} x^5(x^2+1)^4 \)
a dokładniej :
\( { 9\choose 1} x^1 { 8\choose 2} (x^2)^21^6 \ , \ { 9\choose 3} x^3{ 6\choose 1} (x^2)^11^5 \ i \ { 9\choose 5} x^5{ 4\choose 0} (x^2)^01^4 \)
co daje wynik podany już przez Pana B.

Dziękuję bardzo, chwilę po napisaniu pytania zdałem sobie z tego sprawę. Jeszcze raz wielkie dzięki!