Wyznaczyć ekstrema warunkowe
: 28 kwie 2020, 17:13
Wyznaczyć ekstrema warunkowe funkcji \(f(x,y)=-lnx+y^2\) przy warunku pobocznym \(x^2+y^2=1\)
\(D_f=\{(x,y): x>0,\,\,\, y\in \rr \} \wedge x^2=1-y^2 \So 0<x\le 1\\
x^2+y^2=1 \So y^2=1-x^2 \),
Wtedy \(f(x,y)=1-x^2-\ln x=g(x),\,\, x\in (0,1]\\
g'(x)=-2x- \frac{1}{x} <0\)
funkcja g nie posiada ekstremów i jest malejąca zatem przyjmuje wartość najmniejszą dla x=1 (y=0)
Odpowiedź: Funkcja \(f(x,y)=-lnx+y^2\) przy warunku pobocznym \(x^2+y^2=1\) ma minimum
w punkcie \((1,0)\): \(f_{min}=f(1,0)=0\)