forum.zadania.info

Oblicz objętość bryły ograniczonej powierzchniami
\[x^2 + y^2 = 4z \\
x^2 + y^2 = z \\
z = 1
\]

Rozumiem, że mam policzyć całkę potrójną \[ \int \int \int _{(V)} dxdydz \]

Nie wiem jak wyznaczyć granice całkowania, ktoś pomoże?

Obraz robi za 1000 słów. Ja bym od objętości bryły wyciętej płaszczyzną z=1 z większej paraboloidy odjął objętość wyciętą z tej mniejszej paraboloidy.

• Bryła większa: \(\displaystyle z= \frac{1}{4}(x^2+y^2), 0\le z \le 1, -2\le x \le 2, - \sqrt{4-x^2} \le y \le \sqrt{4-y^2} \)
  Po przejściu na współrzędne cylindryczne \(\displaystyle \frac{1}{4}r^2\le z \le 1,,\,\, 0\le r \le 2, \,\, 0\le \varphi \le 2\pi \So V_1 = \int_{0}^{2\pi}d\varphi \int_{0}^{2}\left( \int_{\frac{r^2}{4} }^{ 1}dz \right)r dr=2\pi \)

• Bryła mniejsza we współrzędnych cylindrycznych: \(r^2\le z \le 1, \,\, 0\le r \le 1, 0\le \varphi \le 2\pi\)
  \(\displaystyle V_2= \int_{0}^{2\pi}d\varphi \int_{0}^{1} \left( \int_{r^2}^{1}dz \right) rdr = \frac{\pi}{2} \)

Wobec tego, objętość bryły z zadania \(V=V_1-V_2= \frac{3}{2}\pi \)

A gotowiec za milion

Się wytłumaczę: bo nie można było postąpić tak jak w nagranym filmiku - wewnętrzna paraboloida nie odcinała części zewnętrznej paraboloidy i trzeba było sposobem innem - hawk!

@panb @korki_fizyka
Dziękuję wam. Ogólnie sam walczyłem z tym pare godzin i doszedłem do tego co wy - między innymi właśnie dzięki wykresowi z geogebry. Jednak nadal mam problemy z wyznaczaniem tych granic nieraz...

Nie mniej jednak - dziękuję za pomoc!