forum.zadania.info

Cześć, bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu przykładu:

\( \Lim_{x\to 0^+} a^ \frac{1}{x} \) gdy \(a \in (0;1)\)
czy granicą będzie a? Niestety nie do końca rozumiem, będę wdzięczna za pomoc z wyjaśnieniem.

\(a^{\frac{1}{x}}=e^{ln a^{\frac{1}{x}}}=e^{\frac{1}{x}ln a}\)
Policz granicę wykładnika potęgi
\( \Lim_{x\to 0^+}\frac{ln a}{x} =[\frac{-\infty}{0^+}]=-\infty\\e^{-\infty}=0\)

Intuicyjnie:
\(x\to 0^+\So \frac{1}{x}\to+\infty\),
zatem
\( \Lim_{x\to 0^+} a^ \frac{1}{x} =\left[a^{+\infty}\right]=0\ \text{ dla}\ a\in(0;\ 1) \)

Pozdrawiam

Galen pisze: ↑17 kwie 2020, 20:53 \(a^{\frac{1}{x}}=e^{ln a^{\frac{1}{x}}}=e^{\frac{1}{x}ln a}\)
Policz granicę wykładnika potęgi
\( \Lim_{x\to 0^+}\frac{ln a}{x} =[\frac{-\infty}{0^+}]=-\infty\\e^{-\infty}=0\)

Przepraszam bardzo, ale nie rozumiem do końca tego rozwiązania Czy mogę prosić o wyjaśnienie, skąd wziął się logarytm? I czemu jest tam \(e\) ? Rozwiązanie od drugiej osoby jest zupełnie inne, więc już w ogóle ciężko mi to ogarnąć.

Galen trochę namącił podstawiając za \(\ln a\) symbol \(- \infty \)
\(\ln a\) jest po prostu ujemne , \( \frac{ujemna}{0^+}=- \infty \)
Rozwiązane Jerrego jest prostsze. Spróbuj je zrozumieć. Bazuje wyłącznie na intuicji granicy i własnościach funkcji wykładniczej.

agix97 pisze: ↑18 kwie 2020, 09:25 Czy mogę prosić o wyjaśnienie, skąd wziął się logarytm? I czemu jest tam \(e\) ?

Powszechnie znany fakt, dla dobrze określonych \(a, b\): $$b=a^{\log_ab}$$
Jeśli \(a=e\), to
$$b=e^{\ln b}$$

agix97 pisze: ↑18 kwie 2020, 09:25 Rozwiązanie od drugiej osoby jest zupełnie inne,

Nie zgadzam się z Tobą, granica jest taka sama

Pozdrawiam

Jerry pisze: ↑18 kwie 2020, 14:45

agix97 pisze: ↑18 kwie 2020, 09:25 Rozwiązanie od drugiej osoby jest zupełnie inne,

Nie zgadzam się z Tobą, granica jest taka sama

Chodziło mi o to, że jest rozwiązywane w zupełnie inny sposób - fakt, granica jest ta sama, ale dojście do niej inne.
Mniej więcej rozumiem, bardzo dziękuję wszystkim za pomoc.