forum.zadania.info

Spośród prostopadłościanów, w których p jest długością przekątnej jednej ze ścian, d - długością przekątnej prostopadłościanu, wybierz ten, który ma największą objętość. Podaj długość krawędzi tego prostopadłościanu oraz oblicz jego objętość.

a,b,H - krawędzie prostopadłościanu
\(b^2+H^2=p^2\\
a^2+b^2+H^2=d^2\\
a^2+p^2=d^2\\
a=\sqrt{d^2-p^2}\)

\(b^2+H^2=p^2\\
b=\sqrt{p^2-H^2}\\
H\in (0,p)\)

\(V=abH\\
V(H)=\sqrt{d^2-p^2}\cdot\sqrt{p^2-H^2}\cdot H\\
V(H)=\sqrt{d^2-p^2}\cdot\sqrt{p^2H^2-H^4}\)
przyjmijmy \(f(H)=p^2H^2-H^4\)
znajdź maksimum tej funkcji dla \(H\in (0,p)\)

eresh pisze: ↑15 kwie 2020, 19:13 a,b,H - krawędzie prostopadłościanu
\(b^2+H^2=p^2\\
a^2+b^2+H^2=d^2\\
a^2+p^2=d^2\\
a=\sqrt{d^2-p^2}\)

\(b^2+H^2=p^2\\
b=\sqrt{p^2-H^2}\\
H\in (0,p)\)

\(V=abH\\
V(H)=\sqrt{d^2-p^2}\cdot\sqrt{p^2-H^2}\cdot H\\
V(H)=\sqrt{d^2-p^2}\cdot\sqrt{p^2H^2-H^4}\)
przyjmijmy \(f(H)=p^2H^2-H^4\)
znajdź maksimum tej funkcji dla \(H\in (0,p)\)

Dlaczego przyjmujemy, że \(f(H)=p^2H^2-H^4\)

zwierzaczysko pisze: ↑15 kwie 2020, 21:36 Dlaczego przyjmujemy, że \(f(H)=p^2H^2-H^4\)

We wzorze:
\(V(H)=\sqrt{d^2-p^2}\cdot\sqrt{p^2H^2-H^4}\)
czynnik
\(\sqrt{d^2-p^2}\)
jest wartością stałą, a wartość pierwiastka jest największa dla największej wartości podpierwiastkowej.
Zatem wystarczy zoptymalizować
\(f(H)=p^2H^2-H^4\)

Pozdrawiam