forum.zadania.info

Jak obliczyć taką całkę:
\( \int \sqrt{sin^2(2t)}dt \)

Mogę zapisać to tak:
\(((sin2t)^2)^ \frac{1}{2} = sin2t \)?

mela1015 pisze: ↑14 kwie 2020, 10:40 Jak obliczyć taką całkę:
\( \int \sqrt{sin^2(2t)}dt \)

Mogę zapisać to tak:
\(((sin2t)^2)^ \frac{1}{2} = sin2t \)?

nie możesz
\(\sqrt{x^2}=|x|\)

zatem jak to obliczyć?

Ponieważ \( \sqrt{ \sin ^2(2t)}= \begin{cases} \sin(2t)&dla & t\in [k\pi, \frac{\pi}{2}+k\pi ]\\ -\sin(2t) &dla& t\in [\frac{\pi}{2}+k\pi,\pi +k\pi]\end{cases} \)
FAKT: \[\int \sin2tdt=- \frac{1}{2}\cos2t +C \]

Zatem \(\int \sqrt{ \sin ^2(2t)} dt= \begin{cases} - \frac{1}{2}\cos2t +C & dla & t\in (k\pi, \frac{\pi}{2}+k\pi )\\ \frac{1}{2}\cos2t +C & dla & t\in (\frac{\pi}{2}+k\pi,\pi +k\pi)\end{cases} \)
Przedziały są otwarte ponieważ:
\(\qquad - \frac{1}{2}\cos2\left(\frac{\pi}{2}+k\pi \right)=-\frac{1}{2}\cos(\pi+2k\pi)=-\frac{1}{2}\cos\pi=\frac{1}{2}\)
natomiast
\(\qquad \frac{1}{2}\cos2\left(\frac{\pi}{2}+k\pi \right)=\frac{1}{2}\cos(\pi+2k\pi)=\frac{1}{2}\cos\pi=-\frac{1}{2}\).
Podobnie sprawy się mają z drugimi końcami przedziałów.

Teraz przyjrzyjmy się tym dwóm postaciom pochodnej:
Niech \(\varepsilon\in\left(0, \frac{ \pi }{2} \right)\). Wtedy
\(t\in (k\pi, \frac{\pi}{2}+k\pi ) \iff t=k\pi +\varepsilon \So F(t)= -\frac{1}{2}\cos2t=-\frac{1}{2}(2\varepsilon+2k\pi)=-\frac{1}{2}\cos2\varepsilon\\
t\in (\frac{\pi}{2}+k\pi,\pi +k\pi) \iff t=\frac{\pi}{2}+k\pi+\varepsilon \So F(t)=\frac{1}{2}\cos2t=\frac{1}{2}\cos(2\varepsilon+\pi+2k\pi)=\frac{1}{2}\cos(2\varepsilon+\pi)=-\frac{1}{2}\cos2\varepsilon\)

Można zatem zapisać
\[\int \sqrt{ \sin ^2(2t)}= \frac{(-1)^{k+1}}{2}\cos(2t)+C ,\,\, t\in \left( \frac{k\pi}{2} ,\frac{(k+1)\pi}{2}\right) ,\,\, k\in \zz\]