forum.zadania.info

Wykaż że \( \frac{2^{2^{2^{n+1}}}+2^{2^n}+1}{3} \) tworzy liczbę złożoną dla każdego n>0 naturalnego.

\( \frac{2^{2^{2^{n+1}}}+2^{2^n}+1}{3} = \frac{2^{ \left( 2^{2^{n}}\right)^2 }+2^{2^n}+1}{3}
\)

1) Wykaż, że jest to liczba naturalna, czyli licznik jest podzielny przez 3.


2) Wykaż, że jest to liczba złożona wskazując iż licznik jest podzielny przez 7.
Ponieważ jest to trudniejsze, to podam wskazówkę (którą też należy udowodnić):
\(2^{2^n} \ mod \ 7= \begin{cases} 4 \ \ \ \ \text{dla nieparzystych n}\\ 2 \ \ \ \ \text{dla parzystych n} \end{cases} \)
\(2^{ \left( 2^{2^{n}}\right)^2} \ mod \ 7= \begin{cases} 2 \ \ \ \ \text{dla nieparzystych n}\\ 4 \ \ \ \ \text{dla parzystych n} \end{cases} \)

Poradzisz sobie?