forum.zadania.info

Wykaż, że nie istnieją takie liczby całkowite x i y, które spełniają równanie:
\(x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5=33\).

Wyciągnąłem wspólny czynnik i wyszło mi tak:
\((x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^2)=33\)

\(33=1\cdot 33 \quad \vee \quad 33=3 \cdot 11\)

\( \begin{cases}
x+3y=1\\
x^4-5x^2y^2+4y^2=33
\end{cases} \)
lub
\( \begin{cases}
x+3y=33\\
x^4-5x^2y^2+4y^2=1
\end{cases} \)
lub
\( \begin{cases}
x+3y=3\\
x^4-5x^2y^2+4y^2=11
\end{cases} \)
lub
\( \begin{cases}
x+3y=11\\
x^4-5x^2y^2+4y^2=3
\end{cases} \)

Pytanie co dalej? Mogę to rozwiązywać, tylko dużo z tym roboty a zadanie jest za 3pkt :/

pomyliłeś się w rachunkach
powinno Ci wyjść tak: \((x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)=33\)
czyli :\((x+3y)(x^2-y^2)(x^2-4y^2)=33\)

Chyba mi się udało, ale prosiłbym o sprawdzenie.

\((x+3y)(x-2y)(x+2y)(x-y)(x+y)=33\)
To nie jest prawda, bo liczby 33 nie można przedstawić jako iloczynu pięciu liczb całkowitych.

Bardzo proszę o sprawdzenie.

teraz dobrze

radagast pisze: ↑09 kwie 2020, 11:58 pomyliłeś się w rachunkach
powinno Ci wyjść tak: \((x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)=33\)
czyli :\((x+3y)(x^2-y^2)((x^2-4y^2))=33\)

I tak wyszło
\(x^4-5x^2y^2+4y^4=x^4-x^2y^2-4x^2y^2+4y^4=\\
=x^2(x^2-y^2)-4y^2(x^2-y^2)=(x^2-y^2)(x^2-4y^2)\)

radagast pisze: ↑09 kwie 2020, 12:01 teraz dobrze

Dziękuję bardzo

Przyjrzyj się temu:

not_a_genius pisze: ↑09 kwie 2020, 11:46 Wykaż, że nie istnieją takie liczby całkowite x i y, które spełniają równanie:
\(x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5=33\).

Wyciągnąłem wspólny czynnik i wyszło mi tak:
\((x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^2)=33\)

\(3y \cdot 4y^2 \neq 12 y^5\)

not_a_genius pisze: ↑09 kwie 2020, 11:59 Chyba mi się udało, ale prosiłbym o sprawdzenie.

\((x+3y)(x-2y)(x+2y)(x-y)(x+y)=33\)
To nie jest prawda, bo liczby 33 nie można przedstawić jako iloczynu pięciu liczb całkowitych.

Bardzo proszę o sprawdzenie.

Można: \(1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 11=33\), że nie wspomnę o ujemnych czynnikach.
Trzeba jeszcze dodać komentarz (a może nawet jakieś rachunki).

P.S. Może łatwiej będzie poprzestać na trzech czynnikach.
W końcu liczby 33 nie da się też rozłożyć na trzy różne czynniki

radagast pisze: ↑09 kwie 2020, 12:06 Przyjrzyj się temu:

not_a_genius pisze: ↑09 kwie 2020, 11:46 Wykaż, że nie istnieją takie liczby całkowite x i y, które spełniają równanie:
\(x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5=33\).

Wyciągnąłem wspólny czynnik i wyszło mi tak:
\((x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^2)=33\)

\(3y \cdot 4y^2 \neq 12 y^5\)

Faktycznie, źle przepisałem z zeszytu. Dziękuję

panb pisze: ↑09 kwie 2020, 12:15
P.S. Może łatwiej będzie poprzestać na trzech czynnikach.
W końcu liczby 33 nie da się też rozłożyć na trzy różne czynniki

da się :\(3 \cdot 11 \cdot 1\) że nie wspomnę o ujemnych czynnikach

Polecamy "szukaj"
https://forum.zadania.info/viewtopic.php?f=32&t=89679

Pozdrawiam

radagast pisze: ↑09 kwie 2020, 12:46

panb pisze: ↑09 kwie 2020, 12:15
P.S. Może łatwiej będzie poprzestać na trzech czynnikach.
W końcu liczby 33 nie da się też rozłożyć na trzy różne czynniki

da się :\(3 \cdot 11 \cdot 1\) że nie wspomnę o ujemnych czynnikach

Ale w tym przypadku jest mniej możliwości do rozważenia niż przy pięciu czynnikach.

To nie jest prawda, bo liczby 33 nie można przedstawić jako iloczynu pięciu liczb całkowitych.