Długość krzywej

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
mela1015
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 488
Rejestracja: 20 kwie 2013, 11:00
Podziękowania: 229 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy

Długość krzywej

Post autor: mela1015 »

Oblicz długość krzywej i napisz parametryzację \( \gamma =(...,...)\)
1) \(y= \frac{2}{3}x \), \(x \in [0,2]\)
2)\(y=x^ \frac{2}{3} \), \(0 \le x \le 1\)

Jak to obliczać?
I jak znaleźć parametryzację?
korki_fizyka
Expert
Expert
Posty: 6284
Rejestracja: 04 lip 2014, 14:55
Podziękowania: 83 razy
Otrzymane podziękowania: 1539 razy
Płeć:

Re: Długość krzywej

Post autor: korki_fizyka »

Pomoc w rozwiązywaniu zadań z fizyki, opracowanie statystyczne wyników "laborek", przygotowanie do klasówki, kolokwium, matury z matematyki i fizyki itd.
mailto: korki_fizyka@tlen.pl
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: Długość krzywej

Post autor: panb »

mela1015 pisze: 04 kwie 2020, 15:57 Oblicz długość krzywej i napisz parametryzację \( \gamma =(...,...)\)
1) \(y= \frac{2}{3}x \), \(x \in [0,2]\)
2)\(y=x^ \frac{2}{3} \), \(0 \le x \le 1\)

I jak znaleźć parametryzację?
Nie wszystko na raz.
Parametryzacja to nietrudna sprawa ( opisana ładnie tutaj) i może mieć wiele postaci
1.\( y=\frac{2}{3}x,\,\, x \in [0,2] \iff \gamma:\,\,[0,2]\ni t \to \left(t,\frac{2}{3}t \right) \iff \gamma_1: [0,\frac{2}{3}] \to \rr^2, \,\, \gamma_1(t)=(3t,2t) \)

2. \( y=x^{\frac{2}{3}}, \,\, x\in [0,1] \iff \gamma:\,\,[0,1]\ni t \to \left(t,t^{\frac{2}{3}}\right) \iff \gamma_1: [0,1] \to \rr^2, \,\, \gamma_1(t)=(t^3,t^2) \)

Dalej dasz radę?
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: Długość krzywej

Post autor: panb »

Teraz długość: \( y= \frac{2}{3}x \)
rys.png
rys.png (3.92 KiB) Przejrzano 1627 razy
sposób I: z twierdzenia Pitagorasa, bo to odcinek
\[l^2=2^2+ \left( \frac{4}{3} \right)^2 = \frac{52}{9} \So l= \frac{2}{3}\sqrt{13} \]

Sposób II: bez parametryzacji (\(f(x)= \frac{2}{3}x\))
\[ l= \int_{0}^{2} \sqrt{1+f'(x)^2} dx= \int_{0}^{2}\sqrt{1+ \frac{4}{9} } dx= \frac{ \sqrt{13} }{3} \cdot 2= \frac{2}{3} \sqrt{13} \]

Sposób IIIa: parametryzacja z funkcją \(\gamma\) - DIY

Sposób IIIb: parametryzacja z funkcją \(\gamma_1(t)=(3t,2t),\,\, t\in \left[0, \frac{2}{3} \right] \)
\[l= \int_{0}^{ \frac{2}{3} } \sqrt{2^2+3^2}dt= \frac{2}{3}\sqrt{13} \]


Ta druga krzywa może być "załatwiona" podobnie (oprócz tw. Pitagorasa, rzecz jasna).
mela1015
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 488
Rejestracja: 20 kwie 2013, 11:00
Podziękowania: 229 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy

Re: Długość krzywej

Post autor: mela1015 »


1.\( y=\frac{2}{3}x,\,\, x \in [0,2] \iff \gamma:\,\,[0,2]\ni t \to \left(t,\frac{2}{3}t \right) \iff \gamma_1: [0,\frac{2}{3}] \to \rr^2, \,\, \gamma_1(t)=(3t,2t) \)
Wciąż nie rozumiem dlaczego taka parametryzacja.
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: Długość krzywej

Post autor: panb »

Nie widzisz?!! \(y=\frac{2}{3}x: \,\, (x,y)=(x,\frac{2}{3}x)=(t,\frac{2}{3}t)\)

No, nie wierzę?!
mela1015
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 488
Rejestracja: 20 kwie 2013, 11:00
Podziękowania: 229 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy

Re: Długość krzywej

Post autor: mela1015 »

taak, już rozumiem, dziękuję
mela1015
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 488
Rejestracja: 20 kwie 2013, 11:00
Podziękowania: 229 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy

Re: Długość krzywej

Post autor: mela1015 »

a jeśli mam takie dwie krzywe
\(x=2cos2t\)
\(y=3sin2t\)
to parametryzacja będzie wyglądać tak?
\( \gamma (t)=(2cos2t,3sin2t)\)?
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: Długość krzywej

Post autor: panb »

Oczywiście. A może by tak kliknąć łapkę dziękującą, co?
Stały bywalec powinien o tym wiedzieć.
ODPOWIEDZ