Oblicz długość krzywej i napisz parametryzację \( \gamma =(...,...)\)
1) \(y= \frac{2}{3}x \), \(x \in [0,2]\)
2)\(y=x^ \frac{2}{3} \), \(0 \le x \le 1\)
Jak to obliczać?
I jak znaleźć parametryzację?
Długość krzywej
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Expert
- Posty: 6284
- Rejestracja: 04 lip 2014, 14:55
- Podziękowania: 83 razy
- Otrzymane podziękowania: 1539 razy
- Płeć:
Re: Długość krzywej
Pomoc w rozwiązywaniu zadań z fizyki, opracowanie statystyczne wyników "laborek", przygotowanie do klasówki, kolokwium, matury z matematyki i fizyki itd.
mailto: korki_fizyka@tlen.pl
mailto: korki_fizyka@tlen.pl
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: Długość krzywej
Nie wszystko na raz.
Parametryzacja to nietrudna sprawa ( opisana ładnie tutaj) i może mieć wiele postaci
1.\( y=\frac{2}{3}x,\,\, x \in [0,2] \iff \gamma:\,\,[0,2]\ni t \to \left(t,\frac{2}{3}t \right) \iff \gamma_1: [0,\frac{2}{3}] \to \rr^2, \,\, \gamma_1(t)=(3t,2t) \)
2. \( y=x^{\frac{2}{3}}, \,\, x\in [0,1] \iff \gamma:\,\,[0,1]\ni t \to \left(t,t^{\frac{2}{3}}\right) \iff \gamma_1: [0,1] \to \rr^2, \,\, \gamma_1(t)=(t^3,t^2) \)
Dalej dasz radę?
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: Długość krzywej
Teraz długość: \( y= \frac{2}{3}x \)
sposób I: z twierdzenia Pitagorasa, bo to odcinek
\[l^2=2^2+ \left( \frac{4}{3} \right)^2 = \frac{52}{9} \So l= \frac{2}{3}\sqrt{13} \]
Sposób II: bez parametryzacji (\(f(x)= \frac{2}{3}x\))
\[ l= \int_{0}^{2} \sqrt{1+f'(x)^2} dx= \int_{0}^{2}\sqrt{1+ \frac{4}{9} } dx= \frac{ \sqrt{13} }{3} \cdot 2= \frac{2}{3} \sqrt{13} \]
Sposób IIIa: parametryzacja z funkcją \(\gamma\) - DIY
Sposób IIIb: parametryzacja z funkcją \(\gamma_1(t)=(3t,2t),\,\, t\in \left[0, \frac{2}{3} \right] \)
\[l= \int_{0}^{ \frac{2}{3} } \sqrt{2^2+3^2}dt= \frac{2}{3}\sqrt{13} \]
Ta druga krzywa może być "załatwiona" podobnie (oprócz tw. Pitagorasa, rzecz jasna).
\[l^2=2^2+ \left( \frac{4}{3} \right)^2 = \frac{52}{9} \So l= \frac{2}{3}\sqrt{13} \]
Sposób II: bez parametryzacji (\(f(x)= \frac{2}{3}x\))
\[ l= \int_{0}^{2} \sqrt{1+f'(x)^2} dx= \int_{0}^{2}\sqrt{1+ \frac{4}{9} } dx= \frac{ \sqrt{13} }{3} \cdot 2= \frac{2}{3} \sqrt{13} \]
Sposób IIIa: parametryzacja z funkcją \(\gamma\) - DIY
Sposób IIIb: parametryzacja z funkcją \(\gamma_1(t)=(3t,2t),\,\, t\in \left[0, \frac{2}{3} \right] \)
\[l= \int_{0}^{ \frac{2}{3} } \sqrt{2^2+3^2}dt= \frac{2}{3}\sqrt{13} \]
Ta druga krzywa może być "załatwiona" podobnie (oprócz tw. Pitagorasa, rzecz jasna).
-
- Stały bywalec
- Posty: 488
- Rejestracja: 20 kwie 2013, 11:00
- Podziękowania: 229 razy
- Otrzymane podziękowania: 2 razy
Re: Długość krzywej
Wciąż nie rozumiem dlaczego taka parametryzacja.
1.\( y=\frac{2}{3}x,\,\, x \in [0,2] \iff \gamma:\,\,[0,2]\ni t \to \left(t,\frac{2}{3}t \right) \iff \gamma_1: [0,\frac{2}{3}] \to \rr^2, \,\, \gamma_1(t)=(3t,2t) \)