forum.zadania.info

Dla jakich wartości parametru m ∈ R równanie \((2m^2 + m – 1)x^3+ (5 – m)x^2 – 6 x = 0\) ma trzy różne pierwiastki, które tworzą ciąg arytmetyczny?

Zacznij od sprowadzenia tego wielomianu do postaci iloczynowej

Równanie jest równoważne
\(x=0\vee (2m^2 + m – 1)x^2+ (5 – m)x – 6 = 0\)
Warunkiem koniecznym jest: \((2m^2 + m – 1)\ne 0 \wedge (5-m)^2-4(2m^2 + m – 1)\cdot(-6)>0\)
Ponieważ jednym z pierwiastków równania jest \(0\), to istnieją, dla \(r>0\), trzy możliwości:
\(1^\circ\ \ \begin{cases}x_1=-2r\\ x_2=-r\\x_3=0 \end{cases} \ \So \begin{cases} -3r=\frac{m-5}{2m^2+m-1}\\ 2r^2=\frac{-6}{2m^2+m-1}\end{cases} \)
\(2^\circ\ \ \begin{cases}x_1=-r\\ x_2=0\\x_3=r \end{cases} \ \So \begin{cases} 0=\frac{m-5}{2m^2+m-1}\\ -r^2=\frac{-6}{2m^2+m-1}\end{cases} \)
\(3^\circ\ \ \begin{cases}x_1=-0\\ x_2=-r\\x_3=2r \end{cases} \ \So \begin{cases} 3r=\frac{m-5}{2m^2+m-1}\\ 2r^2=\frac{-6}{2m^2+m-1}\end{cases} \)

Pozostaje rozwiązać warunki (dwa są bardzo podobne)...

Pozdrawiam

@Jerry, a nie lepie byłoby gdyby Malwinka sama do tego doszła (np sprowadzając wielomian do postaci iloczynowej)