forum.zadania.info

Wielokąt foremny został obrócony o kąt \(25,5^o\) wzgledem środka okregu na nim opisanego i wrócił do pierwotnej pozycji. Wyznacz minimalną liczbę boków takiego wielokąta.

Spróbuję Cię naprowadzić:
\(25,5^o= \frac{51}{2}^o=k \alpha \), przy czym \( \alpha \) jest kątem środkowym opartym na boku tego wielokąta, a \(k\) - dowolną liczbą naturalną.
Jakie jest największe możliwe \( \alpha \) ?( z algebraicznego punktu widzenia )

Jakoś nie wiem

k jest całkowite. Przez jaką największą liczbę trzeba pomnożyć k żeby otrzymać \(51 \cdot \frac{1}{2} \) ?
Nie może to być liczba całkowita, bo wtedy otrzymasz całkowitą . Musi to być więc ułamek.Jaki ?

Jaka bedzie ty odpowiedz możesz napisać, to spróbuje do niej dojść.

Moim zdaniem ten wielokąt ma co najmniej 720 boków.

Nie umiem jednak tego rozwiązać.

Każdy wielokąt foremny ma tzw. kąt obrotów własnych dookoła środka okręgu opisanego na nim. Najmniejszymi z nich są np.:
-) dla trójkąta: \(120^\circ\)
-) dla kwadratu: \(90^\circ\)
...
-) dla n-kąta: \(\frac{360^\circ}{n}\), gdzie \(n\in\nn\wedge n\ge3\)

Kąt, który jest podany treścią zadania, musi być krotnością kata kąta obrotów własnych, czyli
\(\frac{51}{2}=k\cdot\frac{360}{n}\), gdzie \(k\in\zz\)
\(\frac{51}{720}=\frac{k}{n}\)
\(\frac{k}{n}=\frac{17}{240}\) i ten ułamek jest już nieupraszczalny...
Zgadniesz możliwe eny? a który jest najmniejszy?

Pozdrawiam

Super teraz jasne jakoś nie mogłem wpac na to 240.