Strona 1 z 1
Wykaż
: 01 kwie 2020, 19:15
autor: Pawm32
Zad 2 Wykaż ze dla dowolnych liczb a i b prawdziwa jest nierowność
\({a^2+b^2+4\ge2(a+b-ab)}\)
I tak widziałem tu już rozwiązanie tego lecz tam jest kwadrat sumy trzech liczb tego jeszcze nie było więc nie wiem czy nauczyciel nie będzie miał jakiś wątpliwości, czy da to się rozwiązać jeszcze jakoś inaczej?
Re: Wykaż
: 01 kwie 2020, 19:23
autor: eresh
Pawm32 pisze: ↑01 kwie 2020, 19:15
Zad 2 Wykaż ze dla dowolnych liczb a i b prawdziwa jest nierowność
\({a^2+b^2+4\ge2(a+b-ab)}\)
I tak widziałem tu już rozwiązanie tego lecz tam jest kwadrat sumy trzech liczb tego jeszcze nie było więc nie wiem czy nauczyciel nie będzie miał jakiś wątpliwości, czy da to się rozwiązać jeszcze jakoś inaczej?
\(
(a+b)^2-2(a+b)+1+3\geq 0\\
(a+b-1)^2\geq 0
\)
pewnie chodzi o ten moment
\((a+b)^2-2(a+b)+1+3\geq 0\)
podstaw
\(x=a+b\)
\(x^2-2x+1+3\geq 0\\
(x-1)^2+3\geq 0\)
i wróć do a i b
\((a+b-1)^2+3\ge 0\)
Re: Wykaż
: 01 kwie 2020, 19:27
autor: Scino
Wykaż, że dla dowolnego parametru \(a\), funkcja \(f(b) = a^2+b^2+4 - 2a-2b+2ab \) jest nieujemna.
\(f'(b)=2b-2+2a=0 \iff b=1-a\)
Funkcja \(f(b)\) jest funkcją kwadratową o dodatnim współczynniku kierunkowym zatem \(f(b)_{min}=f(1-a)=3 \geq 0\)
Lub bez pochodnej - wystarczy policzyć deltę z parametrem \(a\)
\(\Delta = (2a-2)^2-4(a^2+4-2a)=4a^2-8a+4-4a^2-16+8a=-12 < 0\) zatem funkcja \(f(b)\) w całości znajduje się powyżej osi \(OX\).