losowanie liczb z przdziału
: 31 mar 2020, 09:45
Liczby a,b,c zostały wylosowane z przedziału [0, 1]. Oblicz prawdopodobieństwo tego że max{a,b,c} − min{a,b,c} ≤ 2/3.
Liczby \(a,b,c\) możemy traktować jako współrzędne punktu w sześcianie \([0,1]\times[0,1]\times[0,1]\). Szukane prawdopodobieństwo będzie równe objętości części sześcianu, gdzie nierówność jest spełniona.
\(\mathbb{max}\{a,b,c\} − \mathbb{min}\{a,b,c\} \le\frac{2}{3}\quad\Leftrightarrow\quad\begin{cases}|a-b|\le\frac{2}{3}\\|b-c|\le\frac{2}{3}\\|c-a|\le\frac{2}{3}\end{cases}\)
W płaszczyźnie \(ab\) mamy:
\(|a-b|\le\frac{2}{3}\quad\Leftrightarrow\quad b-\frac{2}{3}\leq a\le b+\frac{2}{3}\)
czyli z kwadratu \([0,1]\times[0,1]\) odcinamy dwa narożniki (czyli dwie krawędzie z sześcianu). Analogicznie w pozostałych płaszczyznach. Zostaje bryła o objętości \(\frac{20}{27}\)