forum.zadania.info

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie \(3^{2x}-2(m-1) \cdot 3^x+m+5=0\) ma jedno rozwiązanie.

\(t=3^x \wedge t>0 \\
t^2-2(m-1)+m+5=0\)
Jedno rozwiązanie wystąpi gdy:
a)
\(\Delta =0 \wedge t_{1,2}>0\)
Wyróżnik jest dodatni dla \(m=-1\) oraz dla \(m=4\), jednak tylko dla drugiej wartości pierwiastek jest dodatnim.
b)
\(\Delta >0 \wedge t_1t_2<0\) (czyli \(\frac{c}{a}<0 \) )
Tak jest dla \(m<-5 \)
c)
\(\Delta >0 \wedge t_1t_2= 0 \wedge t_1+t_2>0\)
Tu brak takiego m.
Odp: \(m \in ( - \infty , -5 ) \cup \left\{ 4 \right\}
\)

Januszgolenia pisze: ↑29 mar 2020, 08:14 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie \(3^{2x}-2(m-1) \cdot 3^x+m+5=0\) ma jedno rozwiązanie.

\(3^x=t,t>0\\
t^2-2(m-1)t+m+5=0\\\)

\(\Delta= 4(m-1)^2-4(m+5)\\
\Delta = 4m^2-12m-16\\
\Delta = 4(m+1)(m-4)\)

I.
1. \(\Delta=0\So m\in\{4,-1\}\)
2. \(t_0>0\)
dla \(m=4\): \(t^2-6t+9=0\So t=3>0 \)
dla \(m=-1\): \(t^2+4t+4=0\So t=-2<0\)
I. m=4

II.
1. \(\Delta>0\)
2. \(x_1>0\;\; \wedge \;\;x_2<0\)
1. \(t\in (-\infty, -1)\cup (4,\infty)\)
2.
\( x_1x_2<0\\
m+5<0\\
m<-5\)
II. z 1 i 2: \(m\in (-\infty, -5)\)

bierzemy sumę rozwiązań I i II przypadku:

Odpowiedź: \(m\in (-\infty. -5)\cup\{4\}\)

A teraz po raz kolejny przeedytuję post, skasuję podpuchę, i nagle Twój post jest bez sensu. Irytujące, nieprawdaż?
Konkluzja, przestań poprawiać lub kasować swoje posty gdy ktoś dopisał kolejny post w temacie.

PS
Przynajmniej teraz wiesz, gdzie naprawdę jest błąd,