1) \( \sum_{n=1}^{ \infty } \left( -1\right) ^{n} \cdot \frac{ \left( 3x\right) ^{n} }{n \cdot 2 ^{n} } \)
2) \( \sum_{n=1}^{ \infty } \left( -1\right) ^{n} \cdot \frac{2 ^{n} }{n+1} \cdot \left( x-2\right) ^{2n} \)
Dostałem cztery przykłady do rozwiązania. Dwa pierwsze udało mi się rozwiązać, ale nie mam pojęcia jak się zabrać za te dwa powyższe.
Wyznaczyć zbiór, w którym jest zbieżny podany szereg potęgowy
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Witam na forum
- Posty: 1
- Rejestracja: 28 mar 2020, 22:47
- Płeć:
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: Wyznaczyć zbiór, w którym jest zbieżny podany szereg potęgowy
Ten przypadek nie jest skomplikowanymirekbirowski pisze: ↑28 mar 2020, 22:49 1) \( \sum_{n=1}^{ \infty } \left( -1\right) ^{n} \cdot \frac{ \left( 3x\right) ^{n} }{n \cdot 2 ^{n} } \)
\( \sum_{n=1}^{ \infty } \left( -1\right) ^{n} \cdot \frac{ \left( 3x\right) ^{n} }{n \cdot 2 ^{n} } \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{-3}{2 \sqrt[n]{n} } \right)^n x^n \).
Współczynniki tego szeregu potęgowego \(c_n=\left(\frac{-3}{2 \sqrt[n]{n} } \right)^n\)
Ponieważ \( \Lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|c_n|} = \Lim_{n\to\infty} \frac{3}{2 \sqrt[n]{n} }= \frac{3}{2} \), więc promień zbieżności \(R= \frac{2}{3} \)
Odpowiedź: Szereg \( \sum_{n=1}^{ \infty } \left( -1\right) ^{n} \cdot \frac{ \left( 3x\right) ^{n} }{n \cdot 2 ^{n} } \) jest zbieżny dla \(x\in \left( - \frac{2}{3} , \frac{2}{3} \right) \)
Trzeba jeszcze sprawdzić jak wygląda sytuacja na końcach przedziału, ale to już można zrobić samodzielnie (jest to nietrudne).- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: Wyznaczyć zbiór, w którym jest zbieżny podany szereg potęgowy
Tutaj nie da się tak od razu przez to (2n).mirekbirowski pisze: ↑28 mar 2020, 22:49 2) \( \sum_{n=1}^{ \infty } \left( -1\right) ^{n} \cdot \frac{2 ^{n} }{n+1} \cdot \left( x-2\right) ^{2n} \)
Podstawmy \(t=(x-2)^2\), wtedy \( \sum_{n=1}^{ \infty } \left( -1\right) ^{n} \cdot \frac{2 ^{n} }{n+1} \cdot \left( x-2\right) ^{2n}=\sum_{n=1}^{ \infty }(-1)^n \frac{2^n}{n+1}t^n \)
Wtedy \(c_n= \frac{(-1)^n2^n}{n+1} \)
Stosując kryterium Cauchy'ego zamiast d'Alemberta mamy \(R= \Lim_{n\to\infty } | \frac{c_n}{c_{n+1}} |=\ldots = \frac{1}{2} \)
Wobec tego szereg jest zbieżny dla \(|t|< \frac{1}{2} \iff (x-2)^2< \frac{1}{2} \iff 2- \frac{\sqrt2}{2} <x<2+\frac{\sqrt2}{2} \)
Odpowiedź: Szereg \( \sum_{n=1}^{ \infty } \left( -1\right) ^{n} \cdot \frac{2 ^{n} }{n+1} \cdot \left( x-2\right) ^{2n} \) jest zbieżny w przedziale \( \left( 2- \frac{\sqrt2}{2} ,2+ \frac{\sqrt2}{2} \right) \)
Powinno się też sprawdzić jak wygląda sytuacja na końcach przedziału, ale to już można zrobić samodzielnie (jest to nietrudne).