Równanie kwadratowe i funkcja wykładnicza
: 28 mar 2020, 09:16
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie \(x^2-(2^m-1)x-3 \cdot (4^{m-1}-2^{m-2})=0\) ma dwa rozwiązania rzeczywiste różnych znaków.
1.Januszgolenia pisze: ↑28 mar 2020, 09:16 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie \(x^2-(2^m-1)x-3 \cdot (4^{m-1}-2^{m-2})=0\) ma dwa rozwiązania rzeczywiste różnych znaków.
\(\Delta>0\\
2^{2m}-2\cdot 2^m+1+12(2^{2m}\cdot\frac{1}{4}-2^m\cdot\frac{1}{4})>0\\
1+2^{2m}-2\cdot 2^m+3\cdot 2^{2m}-3\cdot 2^m>0\\
t=2^m\;t>0\\
1+t^2-2t+3t^2-3t>0\\
4t^2-5t+1>0\\
t\in (0,\frac{1}{4})\cup (1,\infty)\\
2^m<\frac{1}{4}\;\; \vee \;\;2^m>1\\
m\in (-\infty, -2)\cup (0,\infty)
\)
2.
\(x_1\cdot x_2<0\\
4^{m-1}-2^{m-2}>0\\
2^{2m}\cdot\frac{1}{4}-2^m\cdot\frac{1}{4}>0\\
2^{2m}-2^m>0\\
2^m=t, t>0\\
t^2-t>0\\
t(t-1)>0\\
t\in (1,\infty)\\
2^m>1\\
m>0\)
z 1 i 2:
Odpowiedź: \(m\in (0,\infty)\)