Ciąg geometryczny i funkcja wykładnicza

[Januszgolenia]

Dla pewnej wartości x liczby \( \frac{1}{4^x+11} , 2^x-1,16^x-13\) są kolejnymi początkowymi wyrazami nieskończonego ciągu geometrycznego.
a) Wyznacz x
b) Napisz wyraz ogólny ciągu.

[eresh]

Dla pewnej wartości x liczby \( \frac{1}{4^x+11} , 2^x-1,16^x-13\) są kolejnymi początkowymi wyrazami nieskończonego ciągu geometrycznego.
a) Wyznacz x
b) Napisz wyraz ogólny ciągu.

\((2^x-1)^2=(16^x-13)\cdot\frac{1}{4^x+11}\\
(2^x-1)^2=(2^{4x}-13)\cdot\frac{1}{2^{2x}+11}\\
2^x=t\\
(t-1)^2=\frac{t^4-13}{t^2+11}\\
(t^2-2t+1)(t^2+11)=t^4-13\\
t^4+11t^2-2t^3-22t+t^2+11-t^4+13=0\\
-2t^3+12t^2-22t+24=0\\
t=4\\
2^x=4\\
x=2
\)

\(a_1=\frac{1}{27}\\
a_2=3\\
a_3=243\\
q=3^{4}\\
a_n=3^{-3}\cdot 3^{4n-4}\\
a_n=3^{4n-7}\)

[Jerry]

Wystarczy rozwiązać
\((t-1)^2=\frac{1}{t^2+11}\cdot(t^4-13)\ \text{ gdzie } t=2^x \wedge t>0\)
i zapisać ciąg w postaci jawnej

Pozdrawiam