forum.zadania.info

zbadać zbieżność szeregu
a) \( \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{ \sqrt{n(n+1)} } \) próbowałam zrobić z d'Alemberta ale wyszło mi 1
b) \(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n^2+1}{2n^2+5n} \) natomiast to robiłam z Cauchyego i też mi 1 wyszło

Oba są rozbieżne. Nie spełniają warunku koniecznego.

z warunkiem koniecznym to chodzi o to że \(\Lim_{n\to \infty } a_n=0\) ?

Tak, właśnie o to chodzi.

super dzięki a mam jeszcze taki problem mam zastosować kryterium d'Alamberta \(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n!-n}{n^{2n}+n^2} \)

zaczełam liczyć i nie wiem jak to poskracać
\(= \Lim_{n\to \infty } \frac{(n!-1)(n^{2n}+n^2)}{(n+1)((n+1)^{2n}+1)(n!-n)} \)

\(0< \frac{(n!-1)(n^{2n}+n^2)}{(n+1)((n+1)^{2n}+1)(n!-n)} <\frac{(n^{2n}+n^2)}{(n+1)((n+1)^{2n}+1)} \) a to jest zbieżne do 0 , bo stopień licznika jest mniejszy niż stopień mianownika. No to z tw. o trzech ciągach...

czyli cały szereg jest zbieżny?

podobno