obliczyć sumę szeregów liczbowych

[enta]

obliczyć sumę szeregów liczbowych
\( \sum_{n=1}^{ \infty } sin \frac{1}{2^n} cos \frac{3}{2^n}\)

[Jerry]

Może się przyda:
$$\sin\alpha\cos 3\alpha=\frac{\sin4\alpha-\sin 2\alpha}{2}$$
Pozdrawiam

[panb]

Bardzo. Wtedy
\( \sum_{n=1}^{\infty}\sin \frac{1}{2^n}\cos \frac{3}{2^n}= \frac{1}{2} \left( \sum_{n=1}^{\infty}\sin \frac{4}{2^n}-\sum_{n=1}^{\infty} \sin\frac{2}{2^n} \right)= \frac{1}{2} \left(\sum_{n=1}^{\infty}\sin \frac{1}{2^{n-2}} -\sum_{n=1}^{\infty}\sin \frac{1}{2^{n-1}} \right) = \frac{1}{2} \sin2 \)