forum.zadania.info

\(z^{2} -2iz+i=0\\
(z-i)^2-i^2+i=0\\
(z-i)^2=-1-i\\
z=i- \sqrt{-1-i}
\)
Pierwiastek (a dokładniej dwa wyniki) dostaniesz z postaci trygonometrycznej liczby -1-i. Potrafisz to zrobić?

Z postacią trygonometryczną w tym przypadku mógłby być problem, bo nie bardzo wiem jak sobie poradzić z taką wartością I\(z\)I =\( \sqrt[4]{2} \) przy obliczaniu kąta.
Ale spróbowałam to zadanie policzyć trochę inaczej. Czy moje dotychczasowe obliczenia są poprawne? Jeśli nie, to proszę o wskazanie błędów i naprowadzenie.
Obliczyłam \(\Delta\) i wyszło mi, że \(\sqrt{ \Delta } = \sqrt{-4-4i}\). Potem rozwiązałam taki układ równań:
\({x^2-y^2=-4}\)
\({2xy=-4}\)
Otrzymałam równanie czwartego stopnia \(x^4+4x^2-4=0\).
Za \(x^2\) przyjęłam t: \(t^2+4t-4=0\), \(t>0\) i rozwiązałam równanie kwadratowe.
\( \sqrt{ \Delta}=4 \sqrt{2} \)
Wynik, który spełnia założenie \(t>0\) to \(t=2 \sqrt{2}-2 \).
Czyli \(x^2=2\sqrt{2}-2\), więc \(x=\sqrt{ 2\sqrt{2}-2}\) \( \vee \) \(x=-\sqrt{ 2\sqrt{2}-2}\)
Z równania \({2xy=-4}\) policzyłam \(y\) dla obu wartości \(x\) i po usunięciu niewymierności otrzymałam:
\(x=\sqrt{ 2\sqrt{2}-2}\)
\(y=-\sqrt{ 2\sqrt{2}-2}\)
i
\(x=-\sqrt{ 2\sqrt{2}-2}\)
\(y=\sqrt{ 2\sqrt{2}-2}\)
Co trzeba zrobić dalej?

Ad \(\sqrt[4]{2} \) :
Zostawiasz go w spokoju, i walczysz z kątami 22,5 stopnia. Ich wartości są w każdych papierowych tablicach matematycznych
\(\sin 22,5^\circ = \frac{ \sqrt{2- \sqrt{2} } }{2} \\
\cos 22,5^\circ = \frac{ \sqrt{2+ \sqrt{2} } }{2} \)

Ad dokończenie obliczeń:
Robiłaś je po to, aby wyliczyć pierwiastek z wyróżnika.
Przyjęłaś że \( \sqrt{\Delta}= \sqrt{(x+iy)^2} = \pm (x+iy)\)
Możesz przyjąć dowolną parę x, y i dowolny znak przed nawiasem do obliczenia obu rozwiązań równania wyjściowego .