Transformata Laplace'a

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
studentAir
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 17
Rejestracja: 24 lis 2019, 10:32
Podziękowania: 4 razy
Płeć:

Transformata Laplace'a

Post autor: studentAir » 25 mar 2020, 14:32

Mam taki przyklad:

f(t) = 2*1*(t-2)

1 - to jedynka Heaviside'a mam nadzieje, że to widać że jest pogrubiona

Jeśli dobrze zrozumiałem to samą 1 dla transformaty zamienia sie po prostu na 1/s

A kiedy mam 2*1*(t-2) to będzie się zamieniać na 2*[ 1/(s - 2) ] ?
Czy może inaczej?

kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1859
Rejestracja: 14 lis 2016, 15:38
Podziękowania: 9 razy
Otrzymane podziękowania: 792 razy
Płeć:

Re: Transformata Laplace'a

Post autor: kerajs » 25 mar 2020, 18:18

studentAir pisze:
25 mar 2020, 14:32
f(t) = 2*1*(t-2)
1 - to jedynka Heaviside'a mam nadzieje, że to widać że jest pogrubiona
Sądzę, że miało być: \(f(t)= 2 \cdot 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}(t-2)\)
(co oznacza że skok jest dla t=2, a nie dla t=0 )
studentAir pisze:
25 mar 2020, 14:32
Jeśli dobrze zrozumiałem to samą 1 dla transformaty zamienia sie po prostu na 1/s
A kiedy mam 2*1*(t-2) to będzie się zamieniać na 2*[ 1/(s - 2) ] ?
Czy może inaczej?
Inaczej:
\(L \left\{ 2 \cdot 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}(t-2) \right\}= 2\cdot \frac{e^{2s}}{s} \)

studentAir
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 17
Rejestracja: 24 lis 2019, 10:32
Podziękowania: 4 razy
Płeć:

Re: Transformata Laplace'a

Post autor: studentAir » 26 mar 2020, 08:20

Dzięki chyba rozumiem :), to jakbym mial w nawiasie za jedynka Heaviside'a np. (t+3) to bym mial (e^-3s) / s ?

kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1859
Rejestracja: 14 lis 2016, 15:38
Podziękowania: 9 razy
Otrzymane podziękowania: 792 razy
Płeć:

Re: Transformata Laplace'a

Post autor: kerajs » 26 mar 2020, 10:19

Sorki, zgubiłem minus. Powinno być:
\(L \left\{ 2 \cdot 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}(t-2) \right\}= 2\cdot \frac{e^{-2s}}{s} \)
A ogólniej:
\(L \left\{ 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}(t-t_0) \right\}= \frac{e^{-t_0s}}{s} \ \ \ \ \ \text{dla} \ \ \ \ \ t_0>0\)

Wynika to z:
\( \int_{0}^{ \infty } f(t) e^{-st} dt= \int_{0}^{ \infty } 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}(t-t_0)e^{-st} dt= \int_{0}^{t_0 } 0 \cdot e^{-st} dt+ \int_{t_0}^{ \infty } 1 \cdot e^{-st} dt=\\=
\int_{0}^{t_0 } 0 dt+ \int_{t_0}^{ \infty } e^{-st} dt=0+ \frac{-e^{-st}}{s}\bigg|_{t_0}^{ \infty } = \frac{-e^{- \infty }}{s}-\frac{-e^{-st_0}}{s}=0+\frac{e^{-t_0s}}{s}=\frac{e^{-t_0s}}{s}\)



A co z ujemnym \(t_0\) ?
Transformatę Laplace'a nazywa sie także prostym jednostronnym przekształceniem Laplace'a gdyż dolną granicą całkowania jest 0. Dla transformaty nie jest istotne jak wygląda f(t) dla ujemnych t . Nawet gdyby wartości f(t) różniły się od zera dla ujemnych t, to i tak zostanie ona tam przycięta do zera.
Czyli dla \(t_0<0\) :
\(L \left\{ 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}(t-t_0) \right\}=L \left\{ 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}(t) \right\}= \frac{1}{s} \)

studentAir
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 17
Rejestracja: 24 lis 2019, 10:32
Podziękowania: 4 razy
Płeć:

Re: Transformata Laplace'a

Post autor: studentAir » 27 mar 2020, 09:48

Dzięki wielkie