5 zadań z graniastosłupów

[agnieszkagrzyb]

1) W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna równa 8 jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod katem 60˚.
Oblicz pole całkowite i objętość ostrosłupa.
2)W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod katem 45˚.
Oblicz pole całkowite i objętość ostrosłupa wiedząc że krawędź podstawy jest równa 6
3)W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź boczna równa 10 jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod katem 60˚.
Oblicz pole całkowite i objętość ostrosłupa.
4)W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym krawędź podstawy jest równa 6 a ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30˚Oblicz pole całkowite i objętość ostrosłupa.
5)W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym krótsza przekątna graniastosłupa równa 10 jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod katem 60˚. Oblicz pole całkowite i objętość graniastosłupa

Bardzo proszę o rozwiązanie

[grdv10]

Bardzo nie lubię wstawiać rysunków na forach, bo to utrudnione, trzeba posłać na jakiś zewnętrzny serwer, a po jakimś czasie obrazek jest kasowany. Dlatego daję wskazówki słowne, a zadanie 1 rozwiązuję w pełni.

1. Robimy przekrój ostrosłupa przez przekątną podstawy i wierzchołek. W tej płaszczyźnie mierzymy kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy. Tak więc ten trójkąt jest równoboczny o boku \(8\), a zatem wysokość ostrosłupa (zarazem wysokość tego trójkąta) to \(\dfrac{8\sqrt{3}}{2}\). Przekątna podstawy to \(8\), a więc jej bok to \(4\sqrt{2}\) (kwadrat i jego przekątna). Tak więc objętość to \(\dfrac{1}{3}P_ph=\dfrac{1}{3}\cdot(4\sqrt{2})^2\cdot\dfrac{8\sqrt{3}}{2}=\dfrac{128\sqrt{3}}{3}.\) Ściana boczna jest trójkątem równoramiennym o bokach \(4\sqrt{2},8,8\). Z twierdzenia Pitagorasa jej wysokość spełnia warunek \(8^2=H^2+(2\sqrt{2})^2\), a więc \(H^2=64-8=56\), a zatem \(H=2\sqrt{14}\). Pole ściany bocznej to \(\dfrac{1}{2}\cdot 4\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{14}=4\sqrt{28}=8\sqrt{7}.\) Dlatego pole powierzchni całkowitej wynosi \((4\sqrt{2})^2+4\cdot 8\sqrt{7}=32+32\sqrt{7}=32(1+\sqrt{7}).\)

We wszystkich zadaniach najważniejsze jest, jak złapać odpowiednie kąty. Trzeba robić dobre rysunki.

2. Robimy podobnie jak 1, tylko dla złapania kąta między ścianą boczną a podstawą robimy przekrój płaszczyzną przechodzącą przez środki przeciwległych krawędzi podstawy i wierzchołek.

3. Metoda analogiczna. Kąt \(60^{\circ}\) łapiemy w płaszczyźnie przechodzącej przez wierzchłek podstawy, środek przeciwległej krawędzi podstawy i wierzchołek ostrosłupa.

4. Zrób przekrój podobny do tego z zadania 2.

5. Kąt, jaki tworzy krótsza przekątna z płaszczyzną podstawy, łapiemy w płaszczyźnie łączącej trzy punkty: wybieramy jeden z wierzchołków podstawy, mijamy następny i bierzemy jeszcze następny oraz koniec krawędzi bocznej przez niego przechodzącej. Jeślli graniastosłupem jest \(A_1B_1C_1D_1E_1F_1A_2B_2C_2D_2E_2F_2\) (standardowa konwencja nazywania wierzchołków), to chodzi np. o płaszczyznę trójkąta \(A_1C_1C_2.\)

[agnieszkagrzyb]

Czy ktoś mógłby spróbować zrobić do tych zadań obrazki, bo właśnie tego za bardzo nie potrafię

[grdv10]

Spróbuj dla ćwiczenia poczytać moje opisy słowne i na ich podstawie zrobić rysunki. Przyda Ci się. Również na tym portalu jest wiele zadań ze stereometrii z rozwiązaniami. Popatrz na nie, a zobaczysz, jak się takie rysunki robi.

[eresh]

1) W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna równa 8 jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod katem 60˚.
Oblicz pole całkowite i objętość ostrosłupa.

[eresh]

2)W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod katem 45˚.
Oblicz pole całkowite i objętość ostrosłupa wiedząc że krawędź podstawy jest równa 6

[eresh]

3)W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź boczna równa 10 jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod katem 60˚.
Oblicz pole całkowite i objętość ostrosłupa.

[eresh]

4)W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym krawędź podstawy jest równa 6 a ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30˚Oblicz pole całkowite i objętość ostrosłupa.

[eresh]

5)W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym krótsza przekątna graniastosłupa równa 10 jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod katem 60˚. Oblicz pole całkowite i objętość graniastosłupa

[agnieszkamilko]

Może ktoś potrafi rozwiązać te zadania dobrze krok po kroku z wytłumaczeniem ?

[eresh]

a czego nie rozumiesz w podanych wskazówkach?

[agnieszkamilko]

np. jak w drugim zadaniu obliczyć wysokość ostrosłupa

[eresh]

np. jak w drugim zadaniu obliczyć wysokość ostrosłupa

\(\tg 45^{\circ}=\frac{H}{|GH|}\\
1=\frac{H}{3}\\
H=3\)