forum.zadania.info

Pokazać, że każda płaszczyzna daje się przedstawić równaniem postaci
Ax+By+Cz+D=0, gdzie \(A^2+B^2+C^2>0\)

Każda płaszczyzna jest określona przez punkt na niej leżący \(P=(x_0,y_0,z_0)\) i wektor do niej prostopadły (normalny) \(\vec{n}=[A,B,C]\)
Z definicji prostopadłości mamy, że dowolny wektor leżący na tej płaszczyźnie jest prostopadły do wektora \(\vec{n}\).
Niech więc Q=(x,y,z) będzie dowolnym punktem płaszczyzny, wtedy
\(\vec{PQ} \circ \vec{n}=0 \iff [x-x_0,y-y_0, z-z_0] \circ [A,B,C]=0 \iff A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\)
Biorąc \(D=Ax_0+By_0+Cz_0\), otrzymamy równanie płaszczyzny w postaci \(Ax+By+Cz+D=0\)

Warunek niezerowania się wszystkich trzech A,B,C na raz musi być spełniony, bo wektor zerowy nie może być wektorem normalnym.