forum.zadania.info

Znaleźć równanie płaszczyzny zawierającej oś \(OX\) i tworzącej kąt \(\dfrac{ \pi }{3}\) z płaszczyzną \(x-y=0\).

Wektor prostopadły do płaszczyzny \(x-y=0\)to \(\vec{n}_1=[1,-1,0].\) Szukana płaszczyzna zawiera oś \(x\), więc przechodzi przez punkty \((0,0,0)\) oraz \((1,0,0)\). Ma więc równanie ogólne \(Ax+By+Cz=0\), a ponieważ punkt \((1,0,0)\) leży na niej, to \(A=0\), czyli \(By+Cz=0\). Wektor prostopadły do niej to \(\vec{n}_2[0,B,C]\). Kąt między płaszczyznami to kąt ostry między wektorami prostopadłymi. Tak więc \(\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{|\vec{n}_1\circ\vec{n}_2|}{|\vec{n}_1|\cdot |\vec{n}_2|}\), czyli \(\dfrac{1}{2}=\dfrac{|-B|}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{B^2+C^2}}.\) Mnożąc na krzyż i podnosząc do kwadratu mamy \(2B^2+2C^2=4B^2\), czyli \(B^2=C^2\), dlatego \(|B|=|C|\). Ponieważ co najmniej jedna z liczb \(B,C\) musi być różna od zera, to można przyjąć \(B=1\) oraz \(C=\pm 1\). Dlatego są dwie takie płaszczyzny: \(y-z=0\) oraz \(y+z=0\).

Równanie płaszczyzny zawierającej oś OX: \(By+Cz=0 \So \vec{n_1}=[0,B,C] \So |\vec{n_1}=\sqrt{B^2+C^2}\)
\(x-y=0 \So \vec{n_2}=[1,-1,0] \So |\vec{n_2}|=\sqrt2\)
\(\vec{n_1} \circ \vec{n_2}=-B\)
\(\cos\alpha=\frac{1}{2}= \frac{|\vec{n_1} \circ \vec{n_1}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}= \frac{B}{\sqrt2\sqrt{B^2+C^2}}\So \frac{1}{\sqrt2}= \frac{1}{\sqrt{1+ \left( \frac{C}{B}\right)^2 }} \So \left( \frac{B}{C} \right)^2=1 \So B=C \vee B=-C \)

Odpowiedź: \(y+z=0 \vee y-z=0\)